Cap-Produkt

In der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum, sei ${\displaystyle C_{n}(X)}$ die ${\displaystyle n}$-te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard-${\displaystyle n}$-Simplexes ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ nach ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),\mathbb {Z} )}$. Man bezeichne mit ${\displaystyle \iota _{0\ldots p}\colon \Delta ^{p}\rightarrow \Delta ^{p+q}}$ beziehungsweise ${\displaystyle \iota _{p\ldots p+q}\colon \Delta ^{q}\rightarrow \Delta ^{p+q}}$ die Inklusionen des Standard-${\displaystyle p}$- beziehungsweise ${\displaystyle q}$-Simplexes als „vordere ${\displaystyle p}$-dimensionale Seite“ beziehungsweise „hintere ${\displaystyle q}$-dimensionale Seite“ in den Standard-${\displaystyle (p+q)}$-Simplex.

Für ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X)}$ und einen singulären Simplex ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X}$ (mit ${\displaystyle p\geq q}$) definiert man

${\displaystyle \sigma \frown \psi :=(-1)^{pq}\psi (\sigma \circ \iota _{0\ldots q})\sigma \circ \iota _{q\ldots p}}$

und setzt dies linear zu einer Abbildung

${\displaystyle C^{q}(X)\times C_{p}(X)\rightarrow C_{p-q}(X)}$

fort.

Allgemeiner sei ${\displaystyle R}$ ein Ring und sei ${\displaystyle C_{n}(X;R)=C_{n}(X)\otimes _{\mathbb {Z} }R,C^{n}(X)=Hom(C_{n}(X),R)}$. Dann erhält man eine Abbildung

${\displaystyle C^{q}(X;R)\times C_{p}(X;R)\rightarrow C_{p-q}(X;R)}$.

Aus der Relation

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )}$

folgt, dass das Cap-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

${\displaystyle H^{q}(X;R)\times H_{p}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}$

definiert.

Eigenschaften

Für stetige Abbildungen ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ gilt

${\displaystyle f_{*}(c)\frown \psi =f_{*}(c\frown f^{*}(\psi ))}$

mit ${\displaystyle c\in C_{p}(X;R)}$, ${\displaystyle \psi \in C^{q}(Y;R)}$.

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

${\displaystyle \psi (c\frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(c)}$

für ${\displaystyle c\in C_{p}(X;R)}$, ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$, ${\displaystyle \varphi \in C^{p-q}(X;R).}$

Anwendung: Poincaré-Dualität

→ Hauptartikel: Poincaré-Dualität

Sei ${\displaystyle M}$ eine geschlossene, orientierbare ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeit und

${\displaystyle \left[M\right]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit ${\displaystyle \left[M\right]}$ einen Isomorphismus

${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n-k}(M;\mathbb {Z} )}$

für ${\displaystyle k=0,\ldots ,n}$.

Literatur

• Glen Bredon: Topology and geometry. Corrected third printing of the 1993 original. Graduate Texts in Mathematics, 139. Springer-Verlag, New York, 1997. ISBN 0-387-97926-3
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0.
• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X