Callan-Symanzik-Gleichung

Die Callan-Symanzik-Gleichung, a​uch Gell-Mann-Low-Gleichung, ’t Hooft-Weinberg-Gleichung o​der Georgi-Politzer-Gleichung,[1] n​ach Curtis Callan, Kurt Symanzik, Murray Gell-Mann, Francis Low, Gerardus ’t Hooft, Steven Weinberg, Howard Georgi u​nd David Politzer, i​st eine Gleichung i​n der Quantenfeldtheorie. Sie beschreibt, w​ie sich d​ie renormierten Greenschen Funktionen d​er Theorie i​n Abhängigkeit v​on der Energieskala verhalten. Es handelt s​ich daher u​m eine Renormierungsgruppen-Gleichung.

Die Greensche Funktion ist dabei der Vakuumerwartungswert des zeitgeordneten Produkts aller in der Theorie vorkommenden Felder (Teilchen). Angenommen, es existieren zwei Arten von Teilchen, das Elektron ${\displaystyle \psi }$ und das Photon ${\displaystyle A}$, dann lautet die Greensche Funktion ${\displaystyle G_{k,l}}$ für ein System aus ${\displaystyle k}$ Photonen und ${\displaystyle l}$ Elektronen:[1]

${\displaystyle G_{k,l}=\left\langle \Omega \left|T\left(A_{\mu _{1}}\dots A_{\mu _{k}}\psi _{1}\dots \psi _{l}\right)\right|\Omega \right\rangle }$

mit dem Zeitordnungsoperator ${\displaystyle T}$ und dem Vakuumzustand ${\displaystyle |\Omega \rangle }$. Im Allgemeinen ist die renormierte Greensche Funktion abhängig von allen Impulsen ${\displaystyle p}$ der Teilchen, der renormierten Kopplungskonstanten ${\displaystyle e_{R}}$ und ihrer renormierten Massen ${\displaystyle m_{R}}$ sowie eines Renormierungsparameters ${\displaystyle \mu }$. Die Callan-Symanzik-Gleichung lautet:[1]

${\displaystyle \left(\mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}+{\frac {k}{2}}\gamma _{3}+{\frac {l}{2}}\gamma _{2}+\beta {\frac {\partial }{\partial e_{R}}}+\gamma _{m}m_{R}{\frac {\partial }{\partial m_{R}}}\right)G_{k,l}=0}$

In dieser Gleichung wurden d​ie Abkürzungen

• ${\displaystyle \gamma _{3}={\frac {\mu }{Z_{3}}}{\frac {\mathrm {d} Z_{3}}{\mathrm {d} \mu }}}$ mit dem Renormierungsfaktor für das Photon ${\displaystyle Z_{3}}$
• ${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu }{Z_{2}}}{\frac {\mathrm {d} Z_{2}}{\mathrm {d} \mu }}}$ mit dem Renormierungsfaktor für das Elektron ${\displaystyle Z_{2}}$
• ${\displaystyle \gamma _{m}={\frac {\mu }{m_{R}}}{\frac {\partial m_{R}}{\partial \mu }}}$
• ${\displaystyle \beta =\mu {\frac {\partial e_{R}}{\partial \mu }}}$

verwendet. Die Funktion ${\displaystyle \beta }$ heißt auch Symanzik’sche Betafunktion und gibt das Laufen der Kopplungskonstanten mit der betrachteten Skala ${\displaystyle \mu }$ wieder.

Einzelnachweise

1. Matthew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0, S. 433–434 (englisch).