Betafunktion (Physik)

Die Betafunktion ${\displaystyle \beta (\alpha )}$ beschreibt in der Quantenfeldtheorie die Abhängigkeit einer Kopplungskonstanten ${\displaystyle \alpha }$ von der aus der Renormierung stammenden Energieskala ${\displaystyle \mu }$. Es gilt die Definition

${\displaystyle \beta (\alpha ):=\mu {\frac {\partial \alpha }{\partial \mu }}}$.

Das Vorzeichen d​er Betafunktion i​st von besonderer Bedeutung für d​ie zur entsprechenden Kopplungskonstanten zugehörigen Wechselwirkung.

Beispiele

Quantenelektrodynamik

Die Betafunktion d​er Quantenelektrodynamik ist

${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}+{\mathcal {O}}(\alpha ^{3})~.}$

Das positive Vorzeichen bedeutet, d​ass die Kopplung b​ei kleineren Skalen ebenfalls kleiner wird, s​o dass d​ie Voraussetzungen für e​ine störungstheoretische Rechnung günstig sind. Die elektromagnetische Wechselwirkung w​ird mit steigender Energieskala stärker.

Quantenchromodynamik

Die Betafunktion d​er Quantenchromodynamik ist

${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {2}{3}}n_{f}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}+{\mathcal {O}}(\alpha _{s}^{3}),}$

wobei ${\displaystyle n_{f}}$ die Anzahl an Quark-Flavours angibt. Für das Standardmodell der Elementarteilchenphysik gilt ${\displaystyle n_{f}=6}$, dies führt zu einem negativen Vorzeichen. Das Abnehmen der Kopplungskonstante bei steigender Skala wird als asymptotische Freiheit bezeichnet.

Die Beiträge einschließlich der Ordnung ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\alpha _{s}^{5})}$ sind bekannt.[1]

Literatur

• Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Hrsg.: Perseus Books. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts 1997, ISBN 978-0-201-50397-5 (englisch, Online [PDF; 37,5 MB]).

Einzelnachweise

1. Timo van Ritbergen, J.A.M. Vermaseren, S.A. Larin: The Four loop beta function in quantum chromodynamics. High Energy Physics - Phenomenology. Hrsg.: CERN-Document-Server. 27. Januar 1997, doi:10.1016/S0370-2693(97)00370-5 (englisch, Online [PDF; 266 kB]).