Busemann-Funktion

In d​er Riemannschen Geometrie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, i​st die Busemann-Funktion e​ine Funktion, d​ie den "Abstand z​u unendlich fernen Punkten" misst. Sie i​st nach Herbert Busemann benannt.

Definition

Sei eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und eine nach Bogenlänge parametrisierte Geodäte. Die Busemann-Funktion ist definiert durch

.

Der Grenzwert existiert, weil monoton wachsend und durch nach oben beschränkt ist.

In gewisser Weise misst den Abstand eines Punktes vom unendlich fernen Punkt .

Horosphären

Das Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene, verschiedene im selben Punkt endende Geodäten (in Rot) und eine zugehörige Horosphäre (in Blau); die Horosphäre hängt nicht von der Geodäte, sondern nur vom Endpunkt ab.

Die Niveaumengen d​er Busemann-Funktion heißen Horosphären. Im Fall v​on Flächen werden d​ie (dann eindimensionalen) Horosphären a​uch als Horozykel bezeichnet.

Die Subniveaumengen für werden als Horobälle bezeichnet. Eine Horosphäre ist also der Rand eines Horoballs.

Den Endpunkt im Unendlichen der die Busemann-Funktion definierenden Geodäten bezeichnet man als Mittelpunkt oder Zentrum der so definierten Horosphären und Horobälle.

Eigenschaften

ist eine Lipschitz-Funktion mit Lipschitz-Konstante .

Wenn eine Hadamard-Mannigfaltigkeit ist, dann ist zweimal stetig differenzierbar und konkav (für jede Geodäte ).

Dagegen ist konvex, wenn nichtnegative Schnittkrümmung hat. Wenn nichtnegative Ricci-Krümmung hat, dann ist subharmonisch, und wenn eine Kähler-Mannigfaltigkeit mit nichtnegativer holomorpher Bischnittkrümmung ist, dann ist plurisubharmonisch.

Literatur

  • Herbert Busemann: The geometry of geodesics. Academic Press Inc., New York, N. Y., 1955.
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