Brunn-Minkowski-Ungleichung

Die Brunn-Minkowski-Ungleichung bzw. d​er Satz v​on Brunn u​nd Minkowski, benannt n​ach den beiden Mathematikern Hermann Brunn u​nd Hermann Minkowski, i​st ein klassischer Lehrsatz a​uf dem mathematischen Teilgebiet d​er Konvexgeometrie. Die Ungleichung s​etzt das Lebesgue-Maß d​er Minkowski-Summe zweier kompakter Teilmengen d​es n-dimensionalen euklidischen Raums i​n Relation z​um Lebesgue-Maß dieser beiden Teilmengen. Sie h​at zahlreiche Anwendungen u​nd zieht insbesondere d​ie isoperimetrische Ungleichung n​ach sich.[1][2][3][4][5][6][7]

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung besagt zusammengefasst Folgendes:

(1) Bildet man im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )}$ mit dem Lebesgue-Maß ${\displaystyle \lambda _{n}}$ für zwei nichtleere kompakte Teilmengen ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

die Menge aller aus zwei Elementen von ${\displaystyle A}$ bzw. ${\displaystyle B}$ bildbaren Summen,

so gilt für die dadurch gegebene Minkowski-Summe

${\displaystyle A+B=\{a+b\;\colon \;a\in A\;,\;b\in B\}}$

die Ungleichung

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A)}}+{\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(B)}}}$  .

(2) Sind darüber hinaus ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ sogar konvexe Körper,

so gilt für jede reelle Zahl ${\displaystyle t}$ mit ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ die Ungleichung

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(tA+(1-t)B)}}\geq t{\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(A)}}+(1-t){\sqrt[{n}]{\lambda _{n}(B)}}}$  .

Erläuterungen und Anmerkungen

(a) Für zwei nichtleere kompakte Teilmengen ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ist auch die Minkowski-Summe ${\displaystyle A+B}$ stets eine kompakte Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und insbesondere Lebesgue-messbar.

(b) Für eine nichtleere kompakten Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ und eine beliebige reelle Zahl ${\displaystyle t}$ ist die Menge ${\displaystyle tA=\{ta\;\colon \;a\in A\}}$ der mit ${\displaystyle t}$ multiplizierten Elemente von ${\displaystyle A}$ ebenfalls stets eine kompakte Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und insbesondere Lebesgue-messbar.

(c) Sieht man bei (1) von der Kompaktheit der beiden Teilmengen ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ab und setzt lediglich voraus, dass beide Lebesgue-messbar sein mögen, so ist im Allgemeinen nicht einmal gewährleistet, dass ihre Minkowski-Summe ${\displaystyle A+B}$ eine Lebesgue-messbare Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ darstellt. Allerdings gilt, wenn man statt des Lebesgue-Maßes ${\displaystyle \lambda _{n}}$ das äußere Lebesgue-Maß ${\displaystyle {\lambda _{n}}^{*}}$ zugrunde legt, die obige Ungleichung (1) in entsprechender Weise. Es gilt sogar für beliebige nichtleere Teilmengen ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ immer die Ungleichung ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{{\lambda _{n}}^{*}(A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{{\lambda _{n}}^{*}(A)}}+{\sqrt[{n}]{{\lambda _{n}}^{*}(B)}}}$  .

Literatur

• Yu. D. Burago - V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 285). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1988, ISBN 3-540-13615-0 (MR0936419).
• Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1969 (MR0257325).
• R. J. Gardner: The Brunn-Minkowski inequality. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 39, 2002, S. 355–405 (ams.org). MR1898210
• H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 93). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1957 (MR0102775).
• Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen (= Hochschultext). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-09071-1.
• Boris Makarov, Anatolij Podkorytov: Real Analysis:. Measures, Integrals and Applications (= Universitext). Springer-Verlag, London (u. a.) 2013, ISBN 978-1-4471-5121-0 (MR3089088).
• Vitali D. Milman, Gideon Schechtman: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces (= Lecture Notes in Mathematics. Band 1200). Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1986, ISBN 3-540-16769-2 (MR0856576).
• Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 402/402a). Bibliographisches Institut, Mannheim 1968 (MR0226495).

Einzelnachweise

1. Yu. D. Burago, V. A. Zalgaller: Geometric Inequalities. 1988, S. 136 ff, S. 146
2. H. Hadwiger: Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. 1957, S. 187 ff
3. Kurt Leichtweiß: Konvexe Mengen. 1980, S. 248 ff
4. Vitali D. Milman, Gideon Schechtman: Asymptotic Theory of Finite Dimensional Normed Spaces. 1986, S. 134 ff, S. 146
5. Boris Makarov, Anatolij Podkorytov: Real Analysis: … 2013, S. 87 ff
6. Frederick A. Valentine: Konvexe Mengen. 1968, S. 196–197
7. Herbert Federer: Geometric Measure Theory. 1969, S. 277 ff