Breit-Rabi-Formel

Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)[1]) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale)[2] in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich ${\displaystyle B\approx 0{,}05\,\mathrm {T} }$ entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin ${\displaystyle I}$ und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses ${\displaystyle m_{F}}$, jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls ${\displaystyle J={\frac {1}{2}}}$. Sie lautet:[3]

${\displaystyle {W_{I\pm {\frac {1}{2}},m_{F}}=-{\frac {A}{2(2I+1)}}+g_{I}m_{F}\mu _{\mathrm {K} }B\pm {\frac {A}{2}}{\sqrt {1+{\frac {4m_{F}\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }\right)B}{(2I+1)A}}+\left({\frac {\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }\right)B}{A}}\right)^{2}}}}}$

Dabei ist ${\displaystyle A}$ die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, ${\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }}$ das Bohrsche und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {K} }}$ das Kernmagneton. ${\displaystyle g_{J}}$ und ${\displaystyle g_{I}}$ sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses ${\displaystyle J}$ bzw. Kernspins ${\displaystyle I}$.

Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten des reduzierten Plancksches Wirkungsquantum ${\displaystyle \hbar }$ entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin ${\displaystyle I={\frac {|{\vec {I}}|}{\hbar }}={\frac {1}{2}}}$. Das einzige Elektron hat im Grundzustand (${\displaystyle l=0}$) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls ${\displaystyle J={\frac {|{\vec {J}}|}{\hbar }}={\frac {1}{2}}}$ ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls ${\displaystyle {\vec {F}}={\vec {I}}+{\vec {J}}}$. Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von ${\displaystyle J}$ und ${\displaystyle I}$ stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator d​er Hyperfeinstruktur m​it einem B-Feld i​n z-Richtung ist:[4]

${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {HFS} }=A{\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar ^{2}}}+\left(g_{J}\mu _{\mathrm {B} }{\frac {J_{z}}{\hbar }}-g_{I}\mu _{\mathrm {K} }{\frac {I_{z}}{\hbar }}\right)B}$

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis ${\displaystyle |JIFm_{F}\rangle }$ diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses ${\displaystyle {\vec {F}}}$ auf die Richtung des Magnetfeldes ${\displaystyle m_{F}=m_{J}+m_{I}}$ (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

${\displaystyle A{\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {J}}}{\hbar ^{2}}}={\frac {A}{2}}\left(F(F+1)-I(I+1)-J(J+1)\right)}$

Die ${\displaystyle z}$-Komponenten ${\displaystyle I_{z}}$ und ${\displaystyle J_{z}}$ lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als ${\displaystyle (F|m_{F})}$ zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit ${\displaystyle m_{F}=0}$, die mischen.

${\displaystyle {\frac {\langle JIF'm_{F}'|J_{z}|JIFm_{F}\rangle }{\hbar }}=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline \left(0|0\right)&0&0&{\frac {1}{2}}&0\\\left(1|-1\right)&0&-{\frac {1}{2}}&0&0\\\left(1|0\right)&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\\left(1|1\right)&0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right)}$

Analog folgt für die ${\displaystyle z}$-Komponente des Kernspins:

${\displaystyle {\frac {\langle JIF'm_{F}'|I_{z}|JIFm_{F}\rangle }{\hbar }}=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline \left(0|0\right)&0&0&-{\frac {1}{2}}&0\\\left(1|-1\right)&0&-{\frac {1}{2}}&0&0\\\left(1|0\right)&-{\frac {1}{2}}&0&0&0\\\left(1|1\right)&0&0&0&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right)}$

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt ${\displaystyle I=J={\frac {1}{2}}}$ sowie ${\displaystyle g_{J}\approx 2}$ für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:[5]

${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathrm {HFS} }=\left({\begin{array}{c|cccc}&\left(0|0\right)&\left(1|-1\right)&\left(1|0\right)&\left(1|1\right)\\\hline (0|0)&-{\frac {3A}{4}}&0&\left(\mu _{\mathrm {B} }+{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0\\(1|-1)&0&{\frac {A}{4}}-\left(\mu _{\mathrm {B} }-{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0&0\\(1|0)&\left(\mu _{\mathrm {B} }+{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B&0&{\frac {A}{4}}&0\\(1|1)&0&0&0&{\frac {A}{4}}+\left(\mu _{\mathrm {B} }-{\frac {g_{I}}{2}}\mu _{\mathrm {K} }\right)B\end{array}}\right)}$

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in ${\displaystyle \mu _{\mathrm {K} }}$ für allgemeine Werte für ${\displaystyle I,F}$ und ${\displaystyle m_{F}}$ gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.

Einzelnachweise

1. Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082--2083, doi:10.1103/PhysRev.38.2082.2.
2. Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284.
3. Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14.
4. Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362.
5. Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff.