Brückenzahl

Die Brückenzahl i​st eine Invariante a​us dem mathematischen Gebiet d​er Knotentheorie.

Definition

Ein Knoten ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$ besitzt eine Darstellung mit ${\displaystyle b}$ Brücken, wenn er sich so in ${\displaystyle 2b}$ Intervalle zerlegen lässt, dass für eine geeignete Ebene ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}}$ jeweils ${\displaystyle b}$ Intervalle in beiden von der Ebene berandeten Halbräumen liegen. (Äquivalent kann man auch verlangen, dass ${\displaystyle b}$ Intervalle in einer Ebene und die anderen ${\displaystyle b}$ Intervalle in einem der berandeten Halbräume liegen.)

Die Brückenzahl ${\displaystyle br(K)}$ eines Knotens ${\displaystyle K}$ ist die kleinste Zahl ${\displaystyle b}$, für die es eine Darstellung mit ${\displaystyle b}$ Brücken gibt.

Beispiele

Die Kleeblattschlinge hat Brückenzahl 2.

• Der Unknoten ist der einzige Knoten mit Brückenzahl ${\displaystyle 1}$.
• Knoten mit Brückenzahl ${\displaystyle 2}$ wurden 1956 von Horst Schubert klassifiziert, sie werden auch als rationale Knoten bezeichnet.
• Eine Klassifikation der 3-Brücken-Knoten ist bisher nicht gelungen.
• Die Brückenzahl des Torusknotens ${\displaystyle T_{pq}}$ ist ${\displaystyle b(T_{pq})=\min(p,q)}$.
• Die Brückenzahl eines n-strändigen Zopfes ist höchstens ${\displaystyle n}$.

Eigenschaften

• Für die Knotensumme ${\displaystyle K_{1}\sharp K_{2}}$ gilt die Gleichung

${\displaystyle br(K_{1}\sharp K_{2})=br(K_{1})+br(K_{2})-1}$

• Linsenräume sind verzweigte Überlagerungen der ${\displaystyle S^{3}}$ mit einem 2-Brückenknoten als Verzweigungsmenge.
• Wenn eine geschlossene 3-Mannigfaltigkeit eine Heegaard-Zerlegung vom Geschlecht ${\displaystyle 2}$ besitzt, dann ist sie eine verzweigte Überlagerung der ${\displaystyle S^{3}}$ mit einem 3-Brückenknoten als Verzweigungsmenge.

Literatur

• Gerhard Burde, Heiner Zieschang, Michael Heusener: Knots. (= De Gruyter Studies in Mathematics. 5). 3., vollst. überarb. und erw. Auflage. De Gruyter, Berlin 2014, ISBN 978-3-11-027074-7.
• Jennifer Schultens: Additivity of bridge numbers of knots. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 135, no. 3, 2003, S. 539–544.
• Jennifer Schultens: Bridge numbers of torus knots. In: Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 143, no. 3, 2007, S. 621–625.