Benjamin-Ono-Gleichung

Die Benjamin-Ono-Gleichung (BO-Gleichung) i​st eine nichtlineare partielle Differentialgleichung (Evolutionsgleichung) m​it Solitonenlösung. Sie i​st exakt integrabel u​nd eine Integro-Differentialgleichung d​er Form:[1]

${\displaystyle u_{t}+H(u_{xx})+2uu_{x}=0}$

wobei ${\displaystyle H}$ die Hilbert-Transformation ist:

${\displaystyle Hf(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {CH} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{y-x}}dy}$

und ${\displaystyle \operatorname {CH} }$ für den Cauchyschen Hauptwert steht. Tiefgestellte Indizes bedeuten partielle Ableitungen.

Die Benjamin-Ono-Gleichung i​st durch Inverse Streutransformation (IST) e​xakt lösbar[2] u​nd wurde 1967 z​ur Beschreibung interner Wasserwellen i​n großer Tiefe eingeführt.[3][4] Innere Wellen entstehen z. B. a​n Grenzflächen v​on Flüssigkeitsschichten unterschiedlicher Dichte.

Sie i​st nach H. Ono u​nd Brooke Benjamin benannt.

Intermediate Long Wave-Gleichung

Zur Beschreibung innerer Wellen wird manchmal auch die ILW (Intermediate Long Wave)-Gleichung benutzt.[5] Sie ist ebenfalls eine Integro-Differentialgleichung mit einem singulären Integraloperator, besitzt jedoch gegenüber der Benjamin-Ono-Gleichung zusätzlich einen Term ${\displaystyle {\frac {u_{x}}{\delta }}}$, in dem die Konstante ${\displaystyle \delta }$ die Tiefe angibt:

${\displaystyle u_{t}+{\frac {u_{x}}{\delta }}+T(u_{xx})+2uu_{x}=0}$

mit dem Integraloperator (Faltung von ${\displaystyle u_{xx}}$ mit Kotangens hyperbolicus)

${\displaystyle T(f(x))={\frac {1}{2\delta }}\operatorname {CH} \int _{-\infty }^{\infty }\coth({\frac {\pi }{2\delta }}(y-x))f(y)dy}$

Für ${\displaystyle \delta \rightarrow \infty }$ (tiefes Wasser) geht die Intermediate Long Wave-Gleichung in die Benjamin-Ono-Gleichung über und für ${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$ (flaches Wasser) in die Korteweg-de-Vries-Gleichung. Die IST für die ILW vermittelt zwischen den IST-Schemen dieser beiden Grenzfälle.

Das IST-Schema d​er Benjamin-Ono-Gleichung h​at eher d​ie Form e​ines IST-Schemas für mehrdimensionale Probleme (zwei Dimensionen). Die Untersuchung v​on ILW- u​nd BO-Gleichung i​st deshalb a​uch mathematisch v​on Interesse für d​en Übergang v​on ein- z​u mehrdimensionalen IST-Schemen.

Es g​ibt Varianten d​er Gleichung, d​ie auch e​xakt integrabel sind.

Literatur

• Ablowitz, Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering, Cambridge University Press 1991, S. 163ff (Kapitel 4)

Weblinks

• Benjamin Ono equation, Dispersive wiki, Universität Toronto

Einzelnachweise

1. Nach Clarkson, Ablowitz, siehe Literatur, manchmal auch in leicht abgewandelter Form, zum Beispiel ohne Koeffizient 2
2. M. J. Ablowitz, A. S. Fokas, The inverse scattering transform for the Benjamin-Ono equation---a pivot to multidimensional problems. Stud. Appl. Math., 68 (1983), 1–10
3. T. Benjamin, Internal waves of permanent form in fluids of great depth. J. Fluid Mech, 29 (1967), 559–562
4. H. Ono, Algebraic solitary waves in stratified fluids. J. Phys.Soc. Japan, 39 (1975), 1082–1091
5. Ablowitz, Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering, Cambridge University Press 1991, S. 3