Belnaps vierwertige Logik

Belnaps vierwertige Logik (kurz: ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$) ist ein logisches System mit vier Wahrheitswerten, welches parakonsistentes Schlussfolgern ermöglicht. Sie wurde 1975 von Nuel D. Belnap entwickelt. Belnaps vierwertige Logik verwendet im Gegensatz zur klassischen Logik vier Wahrheitswerte: ${\displaystyle t\!\,}$, ${\displaystyle f\!\,}$, ${\displaystyle \top }$ und ${\displaystyle \bot }$. In diesem System lassen sich auch aus klassisch logisch inkonsistenten Mengen Schlussfolgerungen ziehen.

Parakonsistentes Schlussfolgern

Eine Konsequenzoperation w​ird parakonsistent genannt, w​enn aus e​iner inkonsistenten Menge aussagenlogischer Formeln n​icht ausschließlich d​ie gesamte logische Sprache gefolgert werden kann. Es s​ind also sinnvolle, logische Schlussfolgerungen a​us inkonsistenten Formelmengen möglich.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ eine aussagenlogische Sprache mit Signatur ${\displaystyle \Sigma \!\,}$ eine Menge von Formeln dieser Sprache. Eine Konsequenzrelation ${\displaystyle \models _{p}}$ heißt parakonsistent, wenn es eine Formelmenge ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ gibt, so dass nicht

${\displaystyle {\mathcal {F}}\models {\mathcal {L}}}$

gilt.

Wahrheitswerte

Belnaps vierwertige Logik legt im Gegensatz zur klassischen Logik, welche nur die Wahrheitswerte ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle f}$ kennt, zwei weitere Wahrheitswerte ${\displaystyle \top }$ und ${\displaystyle \bot }$ zugrunde. ${\displaystyle \top }$ drückt dabei Inkonsistenz aus, also einen Überschuss an Wissen. ${\displaystyle \bot }$ hingegen beschreibt den Mangel an Wissen, auch als unvollständig bezeichnet.

${\displaystyle \mathrm {FOUR} =\{t,f,\top ,\bot \}}$

Wahrheitswert	Repräsentation
${\displaystyle t\!\,}$	(1, 0)
${\displaystyle f\!\,}$	(0, 1)
${\displaystyle \top }$	(1, 1)
${\displaystyle \bot }$	(0, 0)

Analog z​ur klassischen Logik werden d​iese Werte m​it Hilfe v​on Zahlen repräsentiert.

Auf Basis d​er vier Wahrheitswerte werden z​wei Vergleichsrelationen definiert.

${\displaystyle \leq _{t}}$

vergleicht z​wei Werte bezüglich Ihres Wahrheitsgehaltes,

${\displaystyle \leq _{k}}$

vergleicht d​en Wissensgehalt.

Vergleiche zweier Wahrheitswerte mittels dieser Relationen s​ind definiert durch:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\leq _{t}(x_{2},y_{2})}$ gdw. ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ und ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}}$.

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\leq _{k}(x_{2},y_{2})}$ gdw. ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ und ${\displaystyle y_{1}\leq y_{2}}$.

Somit ist ${\displaystyle f\leq _{t}t}$ und ${\displaystyle \bot \leq _{k}\top }$. Die Werte ${\displaystyle \top }$ und ${\displaystyle \bot }$ sind bezüglich ${\displaystyle \leq _{t}}$ unvergleichbar, analog sind ${\displaystyle t\!\,}$ und ${\displaystyle f\!\,}$ bezüglich ${\displaystyle \leq _{k}}$ unvergleichbar.

Auswertung

Die Auswertungsfunktion ${\displaystyle \mathrm {I} }$ ist definiert durch

${\displaystyle \mathrm {I}$ :\Sigma \!\,\rightarrow \mathrm {FOUR} }

und liefert Interpretationen für atomare logische Formeln.

Junktoren

Neben Interpretationen für atomare Formeln werden Auswertungen der logischen Junktoren ${\displaystyle \land }$, ${\displaystyle \lor }$ und ${\displaystyle \neg \!\,}$, sowie für ${\displaystyle \supset }$ (starke Implikation) rekursiv festgelegt.

Seien A u​nd B Formeln.

• ${\displaystyle I(\neg {A})=\!\,\neg {I(A)}}$
• ${\displaystyle I(A\land B)=\!\,I(A)\land I(B)}$
• ${\displaystyle I(A\lor B)=\!\,I(A)\lor I(B)}$
• ${\displaystyle I(A\supset B)=\!\,I(A)\supset I(B)}$

und

• ${\displaystyle \neg {(x,y)}=\!\,(y,x)}$
• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\land (x_{2},y_{2})=(x_{1}\land x_{2},y_{1}\lor y_{2})}$
• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\lor (x_{2},y_{2})=(x_{1}\lor x_{2},y_{1}\land y_{2})}$
• ${\displaystyle (x_{1},y_{1})\supset (x_{2},y_{2})=(\neg {x_{1}}\lor x_{2},x_{1}\land y_{2})}$.

Daneben werden abgeleitete Junktoren definiert, ähnlich d​er aussagenlogischen materiellen Implikation:

• ${\displaystyle A\Rightarrow B\equiv \neg {A}\lor B}$
• ${\displaystyle A\rightarrow B\equiv (A\supset B)\land (\neg {B}\supset \neg {A})}$

Mit Hilfe der Interpretationsfunktion ${\displaystyle I\!\,}$ können logische Ausdrücke in Belnaps vierwertiger Logik ausgewertet werden, indem jeder atomaren Formel ein Wahrheitswert zugeordnet wird und dabei die Formeln rekursiv interpretiert werden.

Negation

${\displaystyle \neg }$
${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$
${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \bot }$

Konjunktion

${\displaystyle \land }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle f\!\,}$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \bot }$

Disjunktion

${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$
${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle t\!\,}$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \bot }$

Starke Implikation

${\displaystyle \supset }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$

Materielle Implikation

${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle t\!\,}$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \bot }$

Implikation

${\displaystyle \rightarrow \!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle f}$	${\displaystyle \bot }$
${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$
${\displaystyle \top }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle f}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \bot \!\,}$
${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \bot }$	${\displaystyle \bot \!\,}$	${\displaystyle t}$

Erfüllung

Zwei Werte aus ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$ werden als wahr interpretiert und zu einer Menge von designierten Werten zusammengefasst:

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\{t,\top \}}$

Eine Interpretation ${\displaystyle I\!\,}$ erfüllt eine Formel ${\displaystyle F\!\,}$,

${\displaystyle I\models _{4}F}$,

wenn gilt

${\displaystyle I(F)\in {\mathcal {D}}}$.

Man sagt auch ${\displaystyle I\!\,}$ ist ein Modell von ${\displaystyle F\!\,}$. Die Menge aller ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Modelle einer Menge aussagenlogischer Formeln ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ wird als ${\displaystyle Mod_{4}({\mathcal {F}})}$ bezeichnet.

Inferenz

Wie in der klassischen Aussagenlogik wird für ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$ eine Inferenzrelation definiert, mittels derer aus vorliegendem Wissen auf neues Wissen geschlossen werden kann.

Seien ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle A\!\,}$ eine Menge von ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Formeln, bzw. ein ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Formel.

${\displaystyle F\models _{4}A}$

gilt, wenn jedes ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Model von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ auch ein ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Model von ${\displaystyle A\!\,}$ ist, also wenn

${\displaystyle Mod_{4}({\mathcal {F}})\subseteq A}$.

Die Konsequenzrelation ${\displaystyle \models _{4}}$ ist monoton, kompakt und parakonsistent.

Eigenschaften

Das logische System ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$ hat ähnliche Eigenschaften wie die klassische Aussagenlogik.

De Morgan’sche Regel

${\displaystyle \neg ((x_{1},y_{1})\land (x_{2},y_{2}))=\neg (x_{1},x_{2})\lor \neg (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle \neg ((x_{1},y_{1})\lor (x_{2},y_{2}))=\neg (x_{1},x_{2})\land \neg (x_{2},y_{2})}$

Schnitt

Wie i​n der Aussagenlogik gilt:

${\displaystyle Mod_{4}(A\land B)=Mod_{4}(A)\cap Mod_{4}(B)}$

Tautologien

In ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$ existieren keine Tautologien. Insbesondere ist

${\displaystyle A\lor \neg {A}\!\,}$

keine Tautologie.

Materielle Implikation

Wie in der Aussagenlogik definiert kann auch in ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$ die materielle Implikation

${\displaystyle A\Rightarrow B\equiv B\lor \neg A}$

verwendet werden. Allerdings verliert s​ie ihre Stärke u​nd die Formelmenge

${\displaystyle \{A,A\Rightarrow B\}\!\,}$

kann designiert (wahr) sein, auch wenn B nicht designiert ist. Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten gilt in ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$ also nicht. Die starke Implikation wurde in ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$ eingeführt um diesem Missstand abzuhelfen.

Starke Implikation

Zwischen der starken Implikation ${\displaystyle \supset }$ und der Inferenzrelation ${\displaystyle \models _{4}}$ existiert ein ähnlicher Zusammenhang wie in der Aussagenlogik zwischen ${\displaystyle \Rightarrow \!\,}$ und ${\displaystyle \models }$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine Menge von ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Formeln; ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Formeln. Es gilt:

${\displaystyle {\mathcal {F}},A\models _{4}B}$ gdw. ${\displaystyle F\models _{4}A\supset B}$

Beispiele

Im Folgenden werden die drei Atome ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle V}$ verwendet, welche mit folgenden Bedeutungen interpretiert werden können:

Atom	Bedeutung
${\displaystyle F}$	kann fliegen
${\displaystyle P}$	Pinguin
${\displaystyle V}$	Vogel

Parakonsistenz

Die Formel

${\displaystyle \phi =P\land (P\Rightarrow V)\land (V\Rightarrow F)\land (P\Rightarrow \neg {F})}$

ist i​n der klassischen Logik inkonsistent.

In ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$ allerdings existieren ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Interpretationen, mit denen ${\displaystyle \phi \!\,}$ designiert ist, also

${\displaystyle I\models _{4}\phi }$

Beispiele für solche Belegungen sind:

${\displaystyle I_{1}(P)=t,I_{1}(V)=t,I_{1}(F)=\top }$

${\displaystyle I_{2}(P)=\top ,I_{2}(V)=\top ,I_{3}(F)=\top }$

Starke Implikation

Mit Hilfe d​er materiellen u​nd starken Implikation lassen s​ich verschiedene Arten v​on Folgerungen modellieren. Die materielle Implikation modelliert d​abei Folgerungen m​it Ausnahmen, d​ie starke Implikation hingegen ausnahmsloses Wissen.

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{V,P,V\Rightarrow F,P\supset V,P\supset \neg {F}\}}$

Die Formelmenge hat 6 ${\displaystyle \mathrm {FOUR} }$-Modelle:

Modell	F	P	V
M1	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \top }$
M2	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$
M3	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle \top }$
M4	${\displaystyle f\!\,}$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$
M5	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle t\!\,}$	${\displaystyle t\!\,}$
M6	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle \top }$	${\displaystyle t\!\,}$

Literatur

• N. D. Belnap: A useful four-valued logic. In: J. M. Dunn, G. Epstein (Hrsg.): Modern uses of multiple-valued logic. Reidel, Dordrecht 1977, S. 8–37.
• S. Weber: Investigations in Belnap’s Logic of Inconsistent and Unknown Information. (PDF; 1,1 MB) Dissertation, Fakultät für Mathematik und Informatik Universität Leipzig, 1998

Weblinks

• Gabriele Kern-Isberner: Parakonsistenz. (PDF; 472 kB) In: Comonsense Reasoning 2008.