Begleitmatrix

Die Begleitmatrix ist eine spezielle Matrix, die einem normierten Polynom zugeordnet werden kann. Somit ist eine Begleitmatrix ein Objekt aus der linearen Algebra.

Definition

Die Begleitmatrix eines normierten Polynoms $n$ -ten Grades $f(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$ über einem Körper ist die quadratische $n\times n$ -Matrix[1]

A(f)={\begin{pmatrix}0&0&\dots &0&-a_{0}\\1&0&\dots &0&-a_{1}\\0&1&\ddots &\vdots &-a_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\0&\dots &0&1&-a_{n-1}\\\end{pmatrix}}.

Manchmal wird auch die transponierte Matrix von $A(f)$ verwendet, was aber nichts Wesentliches ändert. Man nennt diese spezielle Form der Matrix dann auch Kardinalform.

Eigenschaften

Das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom von $A(f)$ ist gerade $f$ . Andererseits ist eine $n\times n$ -Matrix $A$ ähnlich zu der Begleitmatrix des charakteristischen Polynoms von $A$ genau dann, wenn das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom von $A$ identisch sind.[2]

Hat das Polynom $f$ genau $n$ verschiedene Nullstellen $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ , dann ist $A(f)$ diagonalisierbar: $VA(f)V^{-1}=\mathrm {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ für die Vandermonde-Matrix $V=V(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ .

Hiervon gilt sogar die Umkehrung, das heißt eine Begleitmatrix $A(f)$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn $f$ genau $\mathrm {grad} (f)$ verschiedene Nullstellen hat.

Anwendung

Begleitmatrizen treten in der Normalformtheorie auf. Die Existenz der Frobenius-Normalform besagt, dass jede Matrix ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix ist, deren Blöcke Begleitmatrizen sind.

Einzelnachweise

Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 349.
Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 147 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

Literatur

Siegfried Bosch: Lineare Algebra. 5. Auflage, Springer, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-55259-5, Kapitel 6.5.

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[1] Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. de Gruyter, Berlin 2003, ISBN 3-11-017963-6, S. 349.

[2] Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6, S. 147 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).