Ausreißertest nach Grubbs

Der Ausreißertest n​ach Grubbs i​st ein statistischer Test, d​er dazu verwendet wird, Ausreißer i​n einer gegebenen Stichprobe z​u entdecken, z​u eliminieren u​nd durch Iteration d​ie verbleibende Stichprobe z​u verbessern. Der Ausreißertest n​ach Nalimov i​st eine Variante d​es Ausreißertests n​ach Grubbs.

Voraussetzungen

Voraussetzung für die Anwendung des Grubbs-Tests ist die Hypothese, dass die Daten ${\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}}$ annähernd normalverteilt sind. Dies kann aus theoretischen Überlegungen abgeleitet werden oder durch einen Test auf Normalverteilung für die Quelle der Daten allgemein oder die Stichprobe speziell überprüft werden. Der Test auf Normalverteilung sollte ohne die vermutlichen Ausreißer durchgeführt werden, da diese sonst die Teststatistik verfälschen können.

Teststatistik

Danach w​ird aus d​er Stichprobe d​ie Teststatistik

${\displaystyle G={\frac {\max {|X_{i}-{\bar {X}}|}}{S_{n}}}}$

berechnet, i​n der

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ das Stichprobenmittel und ${\displaystyle S_{n}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$ die korrigierte Stichprobenvarianz der Stichprobe bezeichnen. Unter der Nullhypothese, dass keine Ausreißer vorhanden sind, besitzt ${\displaystyle G}$ eine Verteilung, die als Funktion einer t-Verteilung dargestellt werden kann. Konsequenterweise wird der Test zum Signifikanzniveau ${\displaystyle \alpha \;}$ abgelehnt, falls ${\displaystyle G>z_{\alpha }}$ mit

${\displaystyle z_{\alpha }={\frac {n-1}{\sqrt {n}}}{\sqrt {\frac {t_{{\frac {\alpha }{2n}},n-2}^{2}}{n-2+t_{{\frac {\alpha }{2n}},n-2}^{2}}}}}$

gilt. Dabei bezeichnet ${\displaystyle t_{\beta ,m}}$ das ${\displaystyle \beta }$-Quantil einer ${\displaystyle t}$-Verteilung mit ${\displaystyle m}$ Freiheitsgraden zum Niveau ${\displaystyle \beta }$.

Sofern der Test tatsächlich einen Ausreißer entdeckt, wird das fragliche Datum aus der Stichprobe entfernt und ein neuer Grubbs-Test mit ${\displaystyle n-1}$ Daten in der restlichen Probe durchgeführt. Dies sollte so lange geschehen, bis mit Hilfe des Tests keine Ausreißer mehr entdeckt werden können.

Varianten

• Eine Variante des Grubbs-Tests besteht darin, nur Ausreißer nach oben oder nur solche nach unten entdecken zu wollen. Dies wird dadurch realisiert, dass man an Stelle von ${\displaystyle \max {|X_{i}-{\bar {X}}|}}$ nur ${\displaystyle \max X_{i}-{\bar {X}}}$ bzw. ${\displaystyle {\bar {X}}-\min X_{i}}$ betrachtet und den kritischen Wert der Teststatistik von ${\displaystyle t_{{\frac {\alpha }{2n}},n-2}}$ auf ${\displaystyle t_{{\frac {\alpha }{n}},n-2}}$ anpasst.
• Der Ausreißertest nach Nalimov modifiziert die Prüfgröße ${\displaystyle G}$ mit einem vom Stichprobenumfang abhängigen Korrekturfaktor:

${\displaystyle G={\frac {\max {|X_{i}-{\bar {X}}|}}{S_{n}}}{\sqrt {\frac {n}{n-1}}}}$.

Literatur

• Frank E. Grubbs: Sample Criteria for Testing Outlying Observations. In: The Annals of Mathematical Statistics. Band 21, Nr. 1, 1950, S. 27–58, doi:10.1214/aoms/1177729885.
• Frank E. Grubbs: Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples. In: Technometrics. Band 11, Nr. 1, 1. Januar 1969, S. 1–21, doi:10.2307/1266761.
• Kapitel 1.3.5.17. Grubbs’ Test for Outliers. In: Carroll Croarkin, Paul Tobias (Hrsg.): NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods.
• DIN 53 804 Teil 1, Statistische Auswertungen – Meßbare (kontinuierliche) Merkmale. Abs. 8.2 Ausreißertest nach Grubbs, September 1981
• DIN ISO 5725 Teil 2, Genauigkeit (Richtigkeit und Präzision) von Meßverfahren und Meßergebnissen – Ein grundlegendes Verfahren für die Ermittlung der Wiederhol- und Vergleichpräzision von festgelegten Meßverfahren. Abs. 14.4 Grubbs’ test, Entwurf Februar 1991

Weblinks

• Onlinerechner von Graphpad