Ausgehöhltes Dodekaeder

Das ausgehöhlte Dodekaeder ist ein konkaves Polyeder, das sich aus 60 gleichseitigen Dreiecken zusammensetzt und zu den Sternkörpern zählt.

3D-Ansicht eines ausgehöhlten Dodekaeders

20 der insgesamt 32 Ecken sind identisch mit denen eines Dodekaeders, das die konvexe Hülle des Sternkörpers bildet. Die übrigen innen liegenden 12 Ecken bilden die Eckpunkte eines Ikosaeders.

Entstehung

Von einem Dodekaeder (Seitenlänge ${\displaystyle a}$) werden zwölf Fünfeckpyramiden (${\displaystyle J_{2}}$), deren Grundflächen kongruent mit den Begrenzungsflächen des Dodekaeders sind, subtrahiert.

Weiterhin ist dieses Polyeder eines (Bez.: Ef1g1) der 59 möglichen „Sternungen“ des Ikosaeders.[1]

Verwandte Polyeder

• 
  Pentakisdodekaeder
• 
  Dodekaederstern
• 
  Dodekaeder (konvexe Hülle)
• 
  Ikosaeder (Kern)

Gleichwertig zum ausgehöhlten Dodekaeder – in Bezug auf Flächen-, Ecken- und Kantenanzahl – sind das Pentakisdodekaeder und der Dodekaederstern, deren Pyramiden jedoch nach außen anstatt nach innen gerichtet sind und verschiedene Seitenlängen aufweisen.

Formeln

Größen eines ausgehöhlten Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen	${\displaystyle V={\frac {5}{4}}a^{3}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}=15a^{2}{\sqrt {3}}}$
Pyramidenhöhe	${\displaystyle k=a{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}}$
Ikosaederkantenlänge	${\displaystyle b={\frac {a}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$
1. Flächenwinkel  ≈ 138° 11′ 23″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{1}=-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}}$
2. Flächenwinkel  ≈ 41° 48′ 37″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {1}{3}}{\sqrt {5}}}$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Icosahedron Stellations. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Kate Crennell, David Crennell, H. S. M. Coxeter: The fifty-nine icosahedra. 3rd ed. Tarquin, Diss 1999, ISBN 1-899618-32-5.