Auerbachbasis

Eine Auerbachbasis ist eine linear unabhängige Teilmenge eines normierten Vektorraums mit speziellen Eigenschaften.

Definition

Sei ${\displaystyle X}$ ein normierter Vektorraum. Eine Menge ${\displaystyle A\subseteq X}$ heißt Auerbachbasis von X, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Die lineare Hülle der Menge ${\displaystyle A}$ liegt dicht in ${\displaystyle X}$ .
• Für jedes ${\displaystyle a\in A}$ gilt ${\displaystyle \|a\|=\inf\{\|a-b\|:b\in [A\setminus \{a\}]\}}$ , wobei ${\displaystyle [B]}$ der Abschluss der linearen Hülle der Menge ${\displaystyle B}$ sein soll.
• Die Menge ${\displaystyle A}$ ist linear unabhängig. (Diese Bedingung folgt aus der vorigen; es muss sogar für alle ${\displaystyle x\in A}$ die Beziehung ${\displaystyle x\notin [A\setminus \{x\}]}$ gelten.)

Eine Auerbachbasis ${\displaystyle A}$ heißt normierte Auerbachbasis, wenn alle Vektoren der Menge ${\displaystyle A}$ die Norm 1 haben.

Motivation und Geschichte

In j​edem endlichdimensionalen Hilbertraum g​ilt die Gleichung

${\displaystyle \|x\|=\inf\{\|x-y\|:y\in [B]\}}$

genau dann, wenn der Vektor ${\displaystyle x}$ auf den durch ${\displaystyle B}$ erzeugten Teilraum normal steht. In diesem Sinn ist der Begriff der normierten Auerbachbasis eine Verallgemeinerung des Begriffs der Orthonormalbasis.

Dieser Begriff w​urde in d​er Dissertation v​on Herman Auerbach definiert. Die Dissertation selbst, d​ie im Jahr 1929 geschrieben wurde, g​ilt als verschollen. Sie w​ird aber i​n einer Monographie v​on Stefan Banach a​us dem Jahr 1932 erwähnt.

Äquivalente Definitionen

In einen Banachraum X ist eine Menge A von Vektoren genau dann eine normierte Auerbachbasis, wenn die folgenden Bedingungen gelten:

1. ${\displaystyle [A]=X}$ .
2. Für jedes ${\displaystyle a\in A}$ gilt ${\displaystyle a\notin [A\setminus \{a\}]}$
3. Für jedes ${\displaystyle a\in A}$ gilt die Normierungsbedingung ${\displaystyle \|a\|=1}$
4. Es gibt eine Menge ${\displaystyle \{f_{a}:a\in A\}}$ von stetigen linearen Funktionalen auf ${\displaystyle X}$ (also eine Teilmenge des topologischen Dualraums) mit den Eigenschaften
   • ${\displaystyle f_{a}(b)=\delta _{ab}}$ für alle ${\displaystyle a,b\in A}$ . Dabei ist ${\displaystyle \delta _{ab}}$ das Kronecker-Delta.
   • ${\displaystyle \|f_{a}\|=1}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$ .

Zum Beweis verwendet m​an den Satz v​on Hahn-Banach.

Für Vektorräume m​it endlicher Dimension bedeuten d​ie Bedingungen 1+2 einfach, d​ass A e​ine Basis ist. In endlichdimensionalen normierten Vektorräumen s​agt das Lemma v​on Auerbach, d​ass es i​mmer eine Auerbachbasis gibt.

Literatur

• Herman Auerbach: O polu krzywych wypukłych o średnicach sprzężonych (Über Flächen von konvexen Kurven mit konjugierten Durchmessern), Dissertation an der Universität Lwów (1929; auf polnisch).
• Stefan Banach: Théorie des opérations linéaires. Monografie matematyczne, herausgegeben von M. Garasiński, Warschau 1932.
• Bartoszyński et al.: On bases in Banach spaces. Studia Math. 170 (2005), no. 2, 147--171.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg/New York 2005, ISBN 3540213813