Approximative Pivotstatistik

Eine approximative Pivotstatistik i​st eine Folge v​on Funktionen i​n der mathematischen Statistik, d​ie zur Konstruktion v​on approximativen Konfidenzbereichen verwendet wird. Sie bildet s​omit das asymptotische Pendant z​ur Pivotstatistik, welche z​ur Konstruktion v​on (nichtapproximativen) Konfidenzbereichen verwendet wird.

Definition

Rahmenbedingungen

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ seien ${\displaystyle (X_{n},{\mathcal {A}}_{n})}$ Messräume und ${\displaystyle (P_{\vartheta ,n})_{\vartheta \in \Theta }}$ Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ${\displaystyle (X_{n},{\mathcal {A}}_{n})}$. Sei ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })}$ ein weiterer Messraum sowie

${\displaystyle g\colon \Theta \to \Gamma }$

die z​u schätzende Funktion.

In den meisten Fällen handelt es sich bei den Messräumen und den Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen um ${\displaystyle n}$-fache Produktmodelle. Typisches Beispiel hierfür wäre ${\displaystyle X_{n}=\mathbb {R} ^{n}}$ und als Wahrscheinlichkeitsmaß ein entsprechendes Produktmaß ${\displaystyle P_{\vartheta }^{n}}$ eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Formalisierung

Eine Folge von Statistiken ${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ mit

${\displaystyle T_{n}\colon X_{n}\times \Gamma \to \Gamma }$

heißt eine approximative Pivotstatistik für ${\displaystyle g}$, wenn gilt:

• Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle Q}$ auf ${\displaystyle (\Gamma ,{\mathcal {A}}_{\Gamma })}$, so dass die Verteilung von ${\displaystyle T_{n}(\cdot ,g(\vartheta ))}$ für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$ gegen ${\displaystyle Q}$ konvergiert. Es ist also

${\displaystyle P_{\vartheta }\circ T_{n}(\cdot ,g(\vartheta ))^{-1}{\stackrel {\mathcal {D}}{\rightarrow }}Q}$ für ${\displaystyle n\to \infty }$ und für alle ${\displaystyle \vartheta \in \Theta }$.

• Für alle Mengen ${\displaystyle B\in A_{\Gamma }}$ ist ${\displaystyle \{x\in X_{n}\mid T_{n}(x,g(\vartheta ))\in B\}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{n}}$ enthalten.

Die zweite Bedingung garantiert, dass allen Mengen in ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\Gamma }}$ sinnvoll Wahrscheinlichkeiten durch die Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{\vartheta }}$ zugeordnet werden können, das heißt die Verteilung von ${\displaystyle T_{n}(\cdot ,g(\vartheta ))}$ für alle ${\displaystyle \vartheta }$ wohldefiniert ist.

Beispiel

Betrachte e​in Bernoulli-Produktmodell, also

${\displaystyle X=\{0,1\}{\text{ und }}{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}\{0,1\}}$

versehen mit der Bernoulli-Verteilung zum Parameter ${\displaystyle \vartheta \in (0,1)}$.

Das ${\displaystyle n}$-fache Produktmodell ist dann ${\displaystyle (X^{n},{\mathcal {A}}^{n},(\operatorname {Ber} _{\vartheta }^{n})_{\vartheta \in (0,1)})}$. Geschätzt werden soll der Parameter der Bernoulli-Verteilung, also ist die zu schätzende Funktion

${\displaystyle g(\vartheta )=\vartheta }$.

Sei ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ die Stichprobenvariable. Die ${\displaystyle X_{i}}$ sind unabhängig identisch verteilt und es ist

${\displaystyle T_{n}(X,\vartheta )={\sqrt {n}}\left({\frac {\left({\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)-\vartheta }{\sqrt {\vartheta (1-\vartheta )}}}\right)}$

eine approximative Pivotstatistik, da sie nach dem Satz von Moivre-Laplace gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Es ist also ${\displaystyle Q={\mathcal {N}}(0,1)}$.

Quellen

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 233–236, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, S. 144–145, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.