Allgemeiner Test

Ein allgemeiner Test o​der Entscheidungsverfahren i​st ein abstraktes Instrument d​er mathematischen Statistik. Fast a​lle statistischen Tests, w​ie bspw. Hypothesentests o​der Parameterpunktschätzungen, lassen s​ich in d​er Form e​ines allgemeinen Tests mathematisch erfassen. Ziel e​ines allgemeinen Tests i​st es, a​uf Grund d​er (beobachteten) Realisierung e​iner oder mehrerer z​uvor definierter Zufallsgrößen, d​eren genaue Wahrscheinlichkeitsverteilung i. d. R. n​icht bekannt ist, bzgl. e​iner betrachteten Fragestellung e​ine Entscheidung z​u treffen.

Beispiel: Ein Pharmaunternehmen möchte e​in neu entwickeltes Medikament a​uf seine (unbekannte) Wirksamkeit testen. Hierfür bekommt e​ine bestimmte Anzahl v​on Patienten d​as Medikament verabreicht. Aufgrund d​er gemessenen Wirkung d​es Medikaments a​uf die Patienten m​uss sich d​as Pharmaunternehmen n​un entscheiden, o​b man d​as neue Medikament a​uf dem Markt einführt o​der lieber weiter a​uf ein altbewährtes Medikament zurückgreift.

Entscheidet s​ich das Pharmaunternehmen für d​ie Markteinführung d​es neuen Medikaments, s​o besteht d​ie Gefahr, d​ass dieses d​urch das verwendete Entscheidungsverfahren n​ur fälschlicherweise a​ls besser a​ls das a​lte Medikament eingestuft wurde. In diesem Fall entstünde d​em Pharmaunternehmen e​in unnötiger Schaden. Um e​inen solchen z​u vermeiden, l​iegt jedem allgemeinen Test e​ine sog. Schadensfunktion zugrunde, m​it Hilfe d​erer man versucht d​urch die Wahl e​iner "geeigneten" Entscheidungsfunktion d​as Risiko e​iner Entscheidung z​u minimieren.

Definition

Gegeben sei ein Messraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ und eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{P_{\theta }\mid \theta \in \Theta \}}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. ${\displaystyle \Omega }$ umfasst hierbei gerade alle möglichen Realisierungen oder Beobachtungen. Weiter sei ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine Menge von möglichen Entscheidungen.

• Eine Abbildung ${\displaystyle s:{\mathcal {D}}\times \Theta \to \mathbb {R} _{+}}$ heißt Schadensfunktion.

• Eine Abbildung ${\displaystyle \delta$ :\Omega \to {\mathcal {D}}} heißt genau dann allgemeiner Test, Entscheidungsfunktion oder auch Entscheidungsverfahren, wenn für jedes ${\displaystyle \theta \in \Theta }$ die Abbildung ${\displaystyle \omega \mapsto s(\delta (\omega ),\theta )}$ gerade ${\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathfrak {B}})}$-messbar ist. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ die Borelsche σ-Algebra über ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Gütekriterien

Risiko

Es sei ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ eine Klasse von Entscheidungsfunktionen. Für ein Element ${\displaystyle \delta \in {\mathcal {T}}}$ bezeichnet man

${\displaystyle r_{\delta }:\Theta \to \mathbb {R} _{+}}$ vermöge ${\displaystyle r_{\delta }(\theta ):=\int _{\Omega }s(\delta (\omega ),\theta )\ dP_{\theta }(\omega )}$

als Risikofunktion. Diese gibt an, welcher Schaden durch die Anwendung des Tests ${\displaystyle \delta }$ im Mittel unter der Verteilung ${\displaystyle P_{\theta }}$ entsteht. Wegen ${\displaystyle s\geq 0}$ existiert diese immer, evtl. jedoch uneigentlich. Weiter bezeichnet man

${\displaystyle r(\delta ):=\sup _{\theta \in \Theta }r_{\delta }(\theta )}$

als das Risiko von ${\displaystyle \delta }$.

Hat man nun weiter eine ${\displaystyle \sigma }$-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ über ${\displaystyle \Theta }$ und ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle (\Theta ,{\mathcal {S}})}$ gegeben, so definiert ${\displaystyle \mu }$ eine A-priori-Verteilung oder (subjektive) Vorbewertung auf der Parametermenge. Ist die Risikofunktion ${\displaystyle \theta \mapsto r_{\delta }(\theta )}$ messbar bzgl. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, so lässt sich hiermit das sog. Bayesrisiko des Tests ${\displaystyle \delta }$ bzgl. ${\displaystyle \mu }$ einführen, und zwar setzt man dann

${\displaystyle r_{\delta }(\mu ):=\int _{\Theta }r_{\delta }(\theta )\ d\mu (\theta )}$.

Effizienz

Mit Hilfe des Risikos und der Risikofunktion lassen sich nun zwei allgemeine Tests ${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}\in {\mathcal {T}}}$ miteinander vergleichen. Man sagt ${\displaystyle \delta _{1}}$ ist mindestens so effizient wie ${\displaystyle \delta _{2}}$, wenn

${\displaystyle r_{\delta _{1}}(\theta )\leq r_{\delta _{2}}(\theta )\quad \forall \theta \in \Theta }$.

Im Falle einer Vorbewertung ${\displaystyle \mu }$ lassen sich die Tests außerdem mit Hilfe des Bayesrisikos vergleichen. Man sagt dann ${\displaystyle \delta _{1}}$ ist mindestens so effizient wie ${\displaystyle \delta _{2}}$, wenn ${\displaystyle r_{\delta _{1}}(\mu )\leq r_{\delta _{2}}(\mu )}$.

Optimalität

Die Optimalität eines Tests lässt sich auf verschiedenste Weisen einführen. Man bezeichnet einen Test ${\displaystyle \delta ^{*}\in {\mathcal {T}}}$ als

• höchsteffizient in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, wenn ${\displaystyle r_{\delta ^{*}}(\theta )=\min _{\delta \in {\mathcal {T}}}r_{\delta }(\theta )\ \forall \theta \in \Theta }$ gilt.
• Minimaxverfahren in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, wenn ${\displaystyle r(\delta ^{*})=\min _{\delta \in {\mathcal {T}}}r(\delta )}$ gilt.
• Bayeslösung in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ bzgl. ${\displaystyle \mu }$, wenn ${\displaystyle r_{\delta ^{*}}(\mu )=\min _{\delta \in {\mathcal {T}}}r_{\delta }(\mu )}$ gilt.
• multisubjektiv optimal oder ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$-Minimaxverfahren in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, wenn ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist und gilt ${\displaystyle \sup _{\mu \in {\mathfrak {M}}}r_{\delta ^{*}}(\mu )=\min _{\delta \in {\mathcal {T}}}\sup _{\mu \in {\mathfrak {M}}}r_{\delta }(\mu )}$.

Bei festem Parameter ${\displaystyle \theta }$ ist ${\displaystyle \inf _{\delta \in {\mathcal {T}}}r_{\delta }(\theta )}$ der unvermeidbare Schaden für jeden Test in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$. Für einen guten Test wird man deshalb verlangen, dass

${\displaystyle \rho (\delta ^{*}):=\sup _{\theta \in \Theta }\left(r_{\delta ^{*}}(\theta )-\inf _{\delta _{\in }{\mathcal {T}}}r_{\delta }(\theta )\right)}$

möglichst klein wird ("minimal regret"). Deshalb bezeichnet man ${\displaystyle \delta ^{*}}$ weiter als

• strengsten Test in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, wenn ${\displaystyle \rho (\delta ^{*})=\min _{\delta \in {\mathcal {T}}}\rho (\delta )}$ gilt.

Zusammenhang: Bei den hier aufgeführten Optimalitätskriterien lässt sich die Höchsteffizienz als stärkste Forderung einstufen, denn ist ein Test ${\displaystyle \delta ^{*}}$ höchsteffizient in ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, so ist er bereits Minimaxverfahren, Bayeslösung, multisubjektiv optimal und auch strengster Test.

Beispiele

Hypothesentest

Bei einem Hypothesen- oder Signifikanztest betrachtet man zwei sich gegenseitig ausschließende Hypothesen ${\displaystyle H_{0}}$ und ${\displaystyle H_{1}}$, von denen man in der Regel eine, bspw. ${\displaystyle H_{0}}$, versucht aufgrund einer Beobachtung ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ zu verwerfen. Die Menge der möglichen Entscheidungen ist deshalb von der Form ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\{d_{1},d_{2}\}}$, wobei man definiert:

${\displaystyle d_{1}:=}$ "Hypothese ${\displaystyle H_{0}}$ kann verworfen werden."

${\displaystyle d_{2}:=}$ "Hypothese ${\displaystyle H_{0}}$ kann nicht verworfen werden, es lässt sich also keine Folgerung aus dem Experiment ziehen."

Parameterpunktschätzung

Gegeben sei eine Zufallsgröße ${\displaystyle X:\Omega '\to \Omega }$ bzgl. zweier Messräume ${\displaystyle (\Omega ',{\mathcal {A}}')}$ und ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$, die der Verteilungsfamilie ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{P_{\theta }\mid \theta \in \Theta \}}$ unterliegt. Unbekannt sei hierbei der "wahre" Parameter ${\displaystyle \theta }$. Diesen, bzw. allgemeiner einen von ${\displaystyle \theta }$ abhängenden Wert ${\displaystyle \lambda (\theta )}$, gilt es zu schätzen. Als Entscheidungsraum betrachtet man deshalb ${\displaystyle {\mathcal {D}}=\lambda (\Omega )}$. Als Schadensfunktion verwendet man häufig

${\displaystyle s:{\mathcal {D}}\times \Theta \to \mathbb {R} _{+},\ s(d,\theta )=(d-\lambda (\theta ))^{2}}$.

Damit ergibt sich für einen Test ${\displaystyle \delta$ :\Omega \to {\mathcal {D}}} als Risikofunktion die mittlere quadratische Abweichung der Schätzung von dem zu schätzenden Wert, denn

${\displaystyle r_{\delta }(\theta )=\int _{\Omega }s(\delta (\omega ),\theta )\ dP_{\theta }(\omega )=\mathbb {E} _{\theta }((\delta (X)-\lambda (\theta ))^{2})}$.

Parameterbereichsschätzung

Betrachtet wird wieder die Zufallsgröße ${\displaystyle X}$. Schätzen möchte man einen Bereich, in dem man den "wahren" Parameter ${\displaystyle \theta }$ vermutet. Man setzt hierfür ${\displaystyle {\mathcal {D}}:={\mathfrak {P}}(\Theta )\backslash \{\emptyset \}}$. Die Leere Menge schließt man als Entscheidung aus, da das Schätzen dieser nicht sinnvoll wäre. Als Schadensfunktion bietet sich die Abbildung ${\displaystyle s:{\mathcal {D}}\times \Theta \to \mathbb {R} _{+}}$ mit ${\displaystyle s(d,\theta ):=1_{d^{\complement }}(\theta )}$ an. Mit ihr erhält man für einen Test ${\displaystyle \delta$ :\Omega \to {\mathcal {D}}} die Risikofunktion

${\displaystyle r_{\delta }(\theta )=\int _{\Omega }s(\delta (\omega ),\theta )\ dP_{\theta }(\omega )=\int _{\Omega }1_{\delta (\omega )^{\complement }}(\theta )\ dP_{\theta }(\omega )=P_{\theta }(\{\omega \mid \theta \notin \delta (\omega )\})\ ,}$

d. h. ${\displaystyle r_{\delta }(\theta )}$ ist gerade die Wahrscheinlichkeit, mit welcher der Parameter ${\displaystyle \theta }$ nicht in der geschätzten Menge liegt. Man nennt ${\displaystyle r_{\delta }(\theta )}$ deshalb auch die Irrtumswahrscheinlichkeit des Verfahrens ${\displaystyle \delta }$ für den Parameter ${\displaystyle \theta }$. Das Risiko ${\displaystyle r(\delta )=\sup _{\theta \in \Theta }r_{\delta }(\theta )}$ bezeichnet man als Signifikanzschranke von ${\displaystyle \delta }$.