ADM-Masse

Die ADM-Masse (nach Richard Arnowitt, Stanley Deser u​nd Charles W. Misner 1961) ordnet Lösungen d​er Feldgleichungen d​er Allgemeinen Relativitätstheorie e​ine Masse zu, d​ie an i​hrer gravitativen Auswirkung i​n großem Abstand abgelesen werden kann. Die ADM-Masse i​st für asymptotisch flache Raumzeiten definiert.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine asymptotisch flache Riemannsche Mannigfaltigkeit (also ein Raum, dessen Krümmungstensor im Unendlichen verschwindet) mit Metrik ${\displaystyle g}$. Dann ist die ADM-Masse gegeben durch

${\displaystyle m_{ADM}(M,g):=\lim _{R\to \infty }\,{\frac {1}{16\,\pi }}\sum _{\mu ,\nu =1,2,3}\,\,\int _{\partial K_{R}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{\mu }}}\,g_{\nu \nu }-{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\,g_{\nu \mu }\right)\,\mathrm {d} n^{\mu }}$,

Dabei ist ${\displaystyle K_{R}}$ eine Kugel mit Radius ${\displaystyle R}$ und Oberfläche ${\displaystyle \partial K_{R}\,,}$ ${\displaystyle n}$ ist die nach außen zeigende Oberflächennormale.

Die ADM-Masse kann also aus metrischen Größen in großer Entfernung von der Materie bestimmt werden. Nach dem Schoen-Yau-Theorem ist die ADM-Masse positiv, ${\displaystyle m_{ADM}>0\,,}$ wenn die schwache Energiebedingung erfüllt ist.

Beispiel

Für die Schwarzschild-Metrik ist die ADM-Masse ${\displaystyle m_{ADM}}$ gleich der Masse des schwarzen Lochs, die man am Schwarzschildradius abliest. Dabei ist überall, außer im Ursprung, Vakuum: der Energie-Impuls-Tensor ${\displaystyle T_{\mu \nu }=0}$ verschwindet.

Literatur

• R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner: Coordinate Invariance and Energy Expressions in General Relativity, Phys. Rev. 122 (1961) 997–1006.
• R. M. Wald: General Relativity. Chicago: University of Chicago Press, 1984.