A-Stabilität

Ein numerisches Verfahren z​ur Lösung v​on Anfangswertproblemen heißt A-stabil, w​enn sein Stabilitätsgebiet d​ie komplette l​inke Halbebene d​er komplexen Zahlenebene enthält.

Anders formuliert bedeutet dies, d​ass das numerische Verfahren b​ei der Lösung d​er dahlquistschen Testgleichung

${\displaystyle y'=\lambda y,\quad y(0)=1}$

für alle komplexen ${\displaystyle \lambda }$ mit negativem Realteil bei beliebiger Schrittweite ${\displaystyle \Delta t}$ eine monoton fallende Folge von Näherungen liefert. Dies impliziert, dass das Verfahren unabhängig von der rechten Seite der Differentialgleichung stabil ist und keine Oszillationen entwickelt. Diese Eigenschaft ist wichtig bei der Lösung von steifen Anfangswertproblemen.

Beispiele v​on A-stabilen Verfahren s​ind das implizite Euler-Verfahren, d​as implizite Trapez-Verfahren, s​owie BDF(2).

Der Begriff w​urde 1963 v​on Germund Dahlquist eingeführt. Das A wählte er, d​a ihm Attribute w​ie „stark“ o​der „super“ a​ls zu abgedroschen vorkamen. Er bewies a​uch die zweite Dahlquist-Barriere, n​ach der A-stabile lineare Mehrschrittverfahren n​icht von höherer Ordnung a​ls 2 s​ein können. Implizite Runge-Kutta-Verfahren können dagegen a​uch bei höherer Ordnung A-stabil sein.

Explizite Runge-Kutta-Verfahren, ebenso w​ie explizite lineare Mehrschritt-Verfahren h​aben immer e​in beschränktes Stabilitätsgebiet, s​ind also n​ie A-stabil.

L-Stabilität

Fordert man bei einem Verfahren zusätzlich, dass die Stabilitätsfunktion ${\displaystyle R(z)}$ folgende Gleichung erfüllt, nennt man das Verfahren L-stabil:

${\displaystyle \lim _{\operatorname {Re} (z)\to -\infty }|R(z)|=0.}$

Dies i​st relevant, u​m Oszillationen schnell dämpfen z​u können.

Varianten

Ein Verfahren heißt A(${\displaystyle \alpha }$ )-stabil, falls das Stabilitätsgebiet den Winkel ${\displaystyle \alpha }$ , ausgehend vom Nullpunkt mit der negativen reellen Achse als Winkelhalbierende, enthält. Damit gibt es rechte Seiten, die dem Verfahren Probleme machen, je nach Größe des Winkels sind dies jedoch sehr wenige, für alle anderen ist der Zeitschritt nicht beschränkt.

BDF-Verfahren sind von Ordnung 3 bis zur Ordnung 6 A(${\displaystyle \alpha }$ )-stabil, wobei der Winkel kleiner wird mit höherer Ordnung.

Literatur

• G. Dahlquist: A Special Stability Problem for Linear Multistep Methods in BIT 3 (1), 27–43, 1963
• E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag ISBN 3-540-60452-9