Zylindermenge

Eine Zylindermenge, manchmal a​uch Randereignisse genannt, i​st eine spezielle Menge, d​ie in d​er Maßtheorie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik verwendet wird. Ein Spezialfall e​iner Zylindermenge i​st ein Rechteckszylinder. Systeme v​on Zylindermengen werden verwendet, u​m Produkt-σ-Algebren z​u definieren, d​ie wiederum d​ie Basis für d​ie Definition v​on Produktmaßen u​nd Produktmodelle bilden.

Definition

Gegeben sei eine beliebige Indexmenge ${\displaystyle I}$, eine Grundmenge

${\displaystyle \Omega$ :=\prod _{i\in I}\Omega _{i}}

sowie für eine Teilmenge ${\displaystyle J\subset I}$ die kanonische Projektion

${\displaystyle \pi _{J}:\Omega \to \prod _{i\in J}\Omega _{i},\quad \pi _{J}(\omega )=\omega |_{J}}$,

wobei ${\displaystyle \omega |_{J}}$ die Einschränkung auf die Komponenten in ${\displaystyle J}$ bezeichnet. Dann heißt eine Menge der Form

${\displaystyle \pi _{J}^{-1}(M)\subset \Omega {\text{ für }}M\in \Omega _{J}:=\prod _{i\in J}\Omega _{i}}$

eine Zylindermenge mit Basis ${\displaystyle J}$.

Abgeleitete Begriffsbildungen

System der Zylindermengen

Ist auf der Menge ${\displaystyle \Omega _{J}}$ eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{J}}$ gegeben, so nennt man das Mengensystem

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{J}:=\{\pi _{J}^{-1}(A_{J})\,|\,A_{J}\in {\mathcal {A}}_{J}\}}$

das Mengensystem d​er Zylindermengen.

Rechteckszylinder

Lässt sich ein Element der σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{J}}$ als kartesisches Produkt von Mengen aus den σ-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{j}}$ auf ${\displaystyle \Omega _{i}}$ schreiben, also

${\displaystyle A_{J}=\prod _{i\in J}A_{i}{\text{ für }}A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$,

so nennt man ${\displaystyle A_{J}}$ einen Rechteckszylinder mit Basis ${\displaystyle J}$. Man definiert dann

${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{J}^{R}:=\{\pi _{J}^{-1}(A_{J})\,|\,A_{J}{\text{ ist Rechteckszylinder }}\}}$

als Mengensystem a​ller Rechteckszylinder.

Eigenschaften

Definiert m​an das Mengensystem

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\bigcup _{J\subseteq I \atop J{\text{ endlich}}}{\mathcal {Z}}_{J}}$,

so ist dies ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra der ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$, es ist also

${\displaystyle \bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}=\sigma ({\mathcal {Z}})}$.

Ebenso i​st das Mengensystem, d​as bei d​er Vereinigung a​ller endlichen Rechteckszylinder entsteht,

${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{R}:=\bigcup _{J\subseteq I \atop J{\text{ endlich}}}{\mathcal {Z}}_{J}^{R}}$

ein Erzeuger der Produkt-σ-Algebra der ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$, es ist also

${\displaystyle \bigotimes _{i\in I}{\mathcal {A}}_{i}=\sigma ({\mathcal {Z}}^{R})}$.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.