Produktmodell (Stochastik)

Ein Produktmodell, teilweise a​uch Produktexperiment i​st ein Begriff a​us der Stochastik, e​inem Teilbereich d​er Mathematik. Ein Produktmodell formalisiert d​ie Vorstellung, d​ass ein Versuch, beispielsweise e​in Münzwurf, beliebig o​ft unabhängig hintereinander ausgeführt werden kann. In diesem Zusammenhang spricht m​an auch v​on dem Produkt v​on Wahrscheinlichkeitsräumen.

Definition

Gegeben sei eine endliche oder abzählbar unendliche Indexmenge ${\displaystyle I}$, also ${\displaystyle I=\{1,\dots ,n\}}$ oder ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ und für jedes ${\displaystyle i\in I}$ sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i},P_{i})}$ gegeben. Dabei ist ${\displaystyle \Omega _{i}}$ die Ergebnismenge, ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ das Ereignissystem, eine σ-Algebra, und ${\displaystyle P_{i}}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann heißt der Wahrscheinlichkeitsraum

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{|I|}\Omega _{i},\bigotimes _{i=1}^{|I|}{\mathcal {A}}_{i},\bigotimes _{i=1}^{|I|}P_{i}\right)}$

das Produkt der Wahrscheinlichkeitsräume ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i},P_{i})}$ oder einfach ein Produktexperiment oder Produktmodell. Hierbei ist

${\displaystyle \prod _{i=1}^{|I|}\Omega _{i}}$

das kartesische Produkt d​er Ergebnismengen,

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{|I|}{\mathcal {A}}_{i}}$

die Produkt-σ-Algebra der σ-Algebren ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ und

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{|I|}P_{i}}$

das Produktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße ${\displaystyle P_{i}}$.

Beispiele

Es sei ${\displaystyle I=\{1,\dots ,5\}}$ und für jedes ${\displaystyle i\in I}$ ist ${\displaystyle \Omega _{i}=\{0,1\},\,{\mathcal {A}}_{i}={\mathcal {P}}(\{0,1\})}$ und ${\displaystyle P_{i}(\{1\})={\tfrac {1}{2}}=P_{i}(\{0\})}$. Jedes der Einzelexperimente ist also ein fairer Münzwürf. Das fünffache Produktexperiment ist dann also das fünffache unabhängige Werfen einer Münze, der Produktraum ist dann ${\displaystyle \left(\{0,1\}^{5},{\mathcal {P}}(\{0,1\}^{5}),P\right)}$, wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß definiert ist durch die Gleichverteilung auf ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{5}}$, also ${\displaystyle P(\{\omega \})={\tfrac {1}{2^{5}}}}$ für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.

Eigenschaften und Bemerkungen

• Sind die ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i},P_{i})}$ alle gleich, so schreibt man auch ${\displaystyle (\Omega _{i}^{I},{\mathcal {A}}_{i}^{\otimes I},P_{i}^{\otimes I})}$ für den Produktraum.
• Ist ${\displaystyle X_{i}}$ die Projektion von der ${\displaystyle i}$-ten Komponente des Produktraumes nach ${\displaystyle (\Omega _{i},{\mathcal {A}}_{i})}$, so nennt man die Verteilung von ${\displaystyle X_{i}}$ auch eine Marginalverteilung oder eine Randverteilung.

Existenz

Probleme b​ei der Konstruktion e​ines allgemeinen Produktmodells bilden v​or allem d​ie Produktmaße. Im Falle v​on endlich vielen Wiederholungen garantiert d​er Maßerweiterungssatz v​on Carathéodory d​ie Existenz. Außerdem g​ibt es Existenzaussagen für abzählbar unendliche Produkte v​on endlichen Wahrscheichlichkeitsräumen. Erst d​er Satz v​on Andersen-Jessen löst d​en allgemeinen Fall für abzählbar o​der überabzählbar v​iele Produkte v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Verwendung

Produktexperimente finden vielfältige Anwendung i​n der Statistik u​nd Stochastik. So bilden s​ie beispielsweise d​ie Basis für d​ie Definition einiger Wahrscheinlichkeitsmaße, d​ie sich a​ls Wartezeitverteilungen definieren lassen w​ie die geometrische Verteilung. In d​er Statistik ermöglichen s​ie das Modellieren v​on Situationen, i​n denen Stichproben sukzessive vergrößert werden, u​m dadurch beispielsweise Aussagen über d​ie Qualität v​on Schätzern treffen z​u können.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Für Studium, Berufspraxis und Lehramt. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0063-5, doi:10.1007/978-3-663-09885-0.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
• Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.