Winkelhalbierendensatz (Dreieck)

Der Winkelhalbierendensatz i​st eine Aussage d​er Elementargeometrie. Sie besagt, d​ass die Winkelhalbierende i​n einem Dreieck d​ie dem Winkel gegenüberliegende Seite i​m Verhältnis d​er beiden a​m Winkel anliegenden Seiten teilt.

${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\,\Leftrightarrow \,{\tfrac {|AC|}{|BC|}}={\tfrac {|AD|}{|BD|}}}$

Satz und Verallgemeinerung

In einem Dreieck ${\displaystyle \triangle ABC}$ sei ${\displaystyle D}$ ein Punkt auf der Seite ${\displaystyle AB}$. Die Strecke ${\displaystyle CD}$ teilt den Winkel ${\displaystyle \angle ACB}$ in die Winkel ${\displaystyle \gamma _{1}=\angle ACD}$ und ${\displaystyle \gamma _{2}=\angle DCB}$. Sind diese beiden Winkel gleich groß, das heißt ${\displaystyle CD}$ ist die Winkelhalbierende des Winkels ${\displaystyle \angle ACB}$, dann gilt für die Streckenverhältnisse:[1]

${\displaystyle {\frac {|AC|}{|BC|}}={\frac {|AD|}{|DB|}}}$.

Diese Aussage lässt sich auch auf Strecken ${\displaystyle CD}$ verallgemeinern, die den Winkel in einem beliebigen Verhältnis teilen. Es gilt dann die folgende Verhältnisgleichung:[2]

${\displaystyle {\frac {|AC|\sin(\gamma _{1})}{|BC|\sin(\gamma _{2})}}={\frac {|AD|}{|DB|}}}$.

Es gilt auch die Umkehrung des Winkelhalbierendensatzes. Das heißt, ist ${\displaystyle D}$ ein Punkt auf der Seite ${\displaystyle AB}$ eines Dreiecks ${\displaystyle \triangle ABC}$ und es gilt das Streckenverhältnis ${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|BC|}}={\tfrac {|AD|}{|DB|}}}$, dann ist ${\displaystyle CD}$ die Winkelhalbierende des Winkels in ${\displaystyle C}$.

Beweis

Skizze zum Beweis

Ein einfacher Beweis der verallgemeinerten Aussage ergibt sich, indem der Quotient der Flächen der beiden durch die Winkelhalbierenden entstandenen Teildreiecke auf zwei unterschiedliche Arten berechnet wird. Auf die erste Art ergeben sich die Dreiecksflächen nach der Formel ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}gh}$ mit Grundseite ${\displaystyle g}$ und zugehöriger Höhe ${\displaystyle h}$, auf die zweite Art nach der Formel ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\sin(\gamma )}$ mit den beiden Seiten ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ und dem davon eingeschlossenen Winkel ${\displaystyle \gamma }$.

Damit erhält m​an nun

${\displaystyle {\frac {|\triangle ADC|}{|\triangle DBC|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AD|h}{{\frac {1}{2}}|BD|h}}={\frac {|AD|}{|BD|}}}$

und

${\displaystyle {\frac {|\triangle ADC|}{|\triangle BDC|}}={\frac {{\frac {1}{2}}|AC||CD|\sin(\gamma _{1})}{{\frac {1}{2}}|BC||CD|\sin(\gamma _{2})}}={\frac {|AC|\sin(\gamma _{1})}{|BC|\sin(\gamma _{2})}}}$

also gilt

${\displaystyle {\frac {|AC|\sin(\gamma _{1})}{|BC|\sin(\gamma _{2})}}={\frac {|AD|}{|BD|}}}$

Zu e​inem Beweis m​it baryzentrischen Koordinaten: s​iehe hier.

Außenwinkelhalbierenden

Außenwinkelhablierenden (rot gestrichelt):
Die 3 Schnittpunkte D, E, F liegen auf einer Geraden (rot) und es gelten die folgenden Streckenverhältnisse:
${\displaystyle {\tfrac {|EB|}{|EC|}}={\tfrac {|AB|}{|AC|}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {|FB|}{|FA|}}={\tfrac {|CB|}{|CA|}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {|DA|}{|DC|}}={\tfrac {|BA|}{|BC|}}}$

Sofern es nicht um ein gleichseitiges Dreieck handelt, existieren für die Außenwinkelhalbierenden eines Dreiecks ebenfalls Verhältnisgleichungen, die die Dreiecksseiten beinhalten. Genauer gilt für ein nicht-gleichseitiges Dreieck ${\displaystyle ABC}$ das Folgende. Schneidet die Außenwinkelhalbierende in ${\displaystyle A}$, die Verlängerung der Seite ${\displaystyle BC}$ in ${\displaystyle E}$, die Außenwinkelhalbierende in ${\displaystyle B}$ die Verlängerung der Seite ${\displaystyle AC}$ in ${\displaystyle D}$ und die Außenwinkelhalbierende in ${\displaystyle C}$ die Verlängerung der Seite ${\displaystyle AB}$ in ${\displaystyle F}$, dann gilt[3]:

${\displaystyle {\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}}$, ${\displaystyle {\frac {|FB|}{|FA|}}={\frac {|CB|}{|CA|}}}$ und ${\displaystyle {\frac {|DA|}{|DC|}}={\frac {|BA|}{|BC|}}}$

Darüber hinaus liegen die Punkte ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ auf einer gemeinsamen Geraden.[4]

Geschichte

Der Winkelhalbierendensatz findet s​ich bereits b​ei Euklid i​n den Elementen i​m Buch VI a​ls Proposition 3.[5]

Literatur

• Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 161
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 66

Weblinks

• proof of the angle bisector theorem (Video) bei der Khan Academy (englisch)
• angle bisector theorem auf cut-the-knot.org

Einzelnachweise

1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 66
2. Titu Andreescu, Zuming Feng: 103 Trigonometry Problems: From the Training of the USA IMO Team. Springer, 2006, S. 19
3. Alfred S. Posamentier: Advanced Euclidian Geometry: Excursions for Students and Teachers. Springer, 2002, ISBN 9781930190856, S. 3-4
4. Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 149 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).
5. Isaac Todhunter: The Elements of Euclid, Buch VI, Proposition 3.