Wiener-Filter

Das Wiener-Filter o​der auch Wiener-Kolmogoroff-Filter i​st ein Filter z​ur Signalverarbeitung, welches i​n den 1940er Jahren v​on Norbert Wiener u​nd Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt[1] u​nd 1949 d​urch Norbert Wiener publiziert wurde.[2] Es führt, gemessen a​n der mittleren quadratischen Abweichung, e​ine optimale Rauschunterdrückung durch.[2]

Anwendung des Wiener-Filters zur Rauschunterdrückung. (links: Original, Mitte: verrauschtes Bild, rechts: gefiltertes Bild)

Eigenschaften

Das Wiener-Filter w​ird durch d​ie folgenden Eigenschaften beschrieben:[3]

1. Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
2. Fehlerkriterium: Minimale mittlere quadratische Abweichung

Modelleigenschaften

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal ${\displaystyle s\left(t\right)}$ gestört durch ein additives Rauschen ${\displaystyle n\left(t\right)}$ vorausgesetzt.

${\displaystyle y(t)=s(t)+n(t)}$

Das Ausgangssignal ${\displaystyle x\left(t\right)}$ ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion ${\displaystyle g\left(\tau \right)}$:

${\displaystyle x(t)=g(\tau )*y(t)=g(\tau )*\left(s(t)+n(t)\right)}$

Fehler ${\displaystyle e(t)=s\left(t+d\right)-x(t)}$ und quadratischer Fehler ${\displaystyle e^{2}(t)=s^{2}\left(t+d\right)-2s(t+d)x(t)+x^{2}(t)}$ ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal ${\displaystyle s\left(t+d\right)}$. Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

• Für ${\displaystyle \left.d>0\right.}$ : Prädiktion
• Für ${\displaystyle \left.d=0\right.}$ : Filterung
• Für ${\displaystyle \left.d<0\right.}$ : Glättung

Stellt man ${\displaystyle x\left(t\right)}$ als Faltungsintegral dar:

${\displaystyle x(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )\left[s(t-\tau )+n(t-\tau )\right]d\tau }}$,

so ergibt s​ich der Erwartungswert d​es quadratischen Fehlers zu:

${\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-2\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{y\,s}(\tau +d)d\tau }+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )g(\theta )R_{y}(\tau -\theta )d\tau }d\theta }}$

wobei

• ${\displaystyle R_{s}}$ die Autokorrelation der Funktion ${\displaystyle \left.s(t)\right.}$
• ${\displaystyle R_{y}}$ die Autokorrelation der Funktion ${\displaystyle \left.y(t)\right.}$
• ${\displaystyle R_{y\,s}}$ die Kreuzkorrelation der Funktionen ${\displaystyle \left.y(t)\right.}$ und ${\displaystyle \left.s(t)\right.}$ sind

Wenn das Signal ${\displaystyle s\left(t\right)}$ und das Rauschen ${\displaystyle n\left(t\right)}$ unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

• ${\displaystyle R_{y\,s}=R_{s}}$
• ${\displaystyle R_{y}=R_{s}+R_{n}}$

Das Ziel ist es nun, ${\displaystyle \left.E(e^{2})\right.}$ durch Bestimmung eines optimalen ${\displaystyle g\left(\tau \right)}$ zu minimieren.

Stationäre Lösungen

Das Wiener-Filter h​at jeweils e​ine Lösung für d​en kausalen u​nd den nicht-kausalen Fall.

Nicht-kausale Lösung

${\displaystyle G(s)={\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_{x}(s)}}}$

Unter der Voraussetzung, dass ${\displaystyle g\left(t\right)}$ optimal ist, vereinfacht sich die Gleichung, die das Minimum der mittleren quadratischen Abweichung (Minimum Mean-Square Error, MMSE) beschreibt zu

${\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{x,s}(\tau +d)d\tau }}$.

Die Lösung ${\displaystyle g\left(t\right)}$ ist die inverse beidseitige Laplacetransformation von ${\displaystyle \left.G(s)\right.}$.

Kausale Lösung

${\displaystyle G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}}}$

Wobei

• ${\displaystyle \left.H(s)\right.}$ die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von ${\displaystyle {\frac {S_{x,s}(s)e^{\alpha s}}{S_{x}^{-}(s)}}}$,
• ${\displaystyle S_{x}^{+}(s)}$ die positive Lösung der inversen Laplace-Transformation von ${\displaystyle \left.S_{x}(s)\right.}$ und
• ${\displaystyle S_{x}^{-}(s)}$ die negative Lösung der inversen Laplace-Transformation von ${\displaystyle \left.S_{x}(s)\right.}$ ist.

Siehe auch

• Kalman-Filter
• Wiener-Dekonvolution

Einzelnachweise

1. Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung. 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.
2. Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York NY 1949.
3. Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions. 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.