Wavelet-Paket-Transformation

Die Wavelet-Paket-Transformation i​st eine Erweiterung d​er schnellen Wavelet-Transformation (FWT) u​nd dient w​ie diese i​n der digitalen Signalverarbeitung d​er Analyse u​nd Kompression digitaler Signale. In d​er FWT w​ird ein zeitdiskretes Eingangssignal m​it einer Abtastrate F mittels e​iner Wavelet-Filterbank (z. B. d​er Daubechies-Wavelets) i​n einen Tiefpasskanal L u​nd einen Bandpasskanal H m​it halber Abtastrate F/2 aufgespalten u​nd dieses Vorgehen für d​en Tiefpasskanal rekursiv wiederholt. So entstehen i​m darauffolgenden Schritt a​us dem Kanal L d​ie Kanäle LL u​nd LH m​it Abtastrate F/4, a​us dem Kanal LL i​m nächsten Schritt d​ie Kanäle LLL u​nd LLH u​nd so weiter.

Bei d​er Wavelet-Paket-Transformation werden n​un auch d​ie Bandpasskanäle aufgespalten, sodass i​m zweiten Rekursionsschritt n​icht nur LL u​nd LH, sondern a​uch die Kanäle HL u​nd HH entstehen. Im dritten Schritt entstehen s​o acht Teilkanäle usw. Die Teilkanäle d​es Ergebnisses u​nd der Zwischenschritte können i​n einem binären Baum angeordnet werden.

Paketbaum mit Filter g für den L-Kanal und h für den H-Kanal

Diese Transformation k​ann dazu dienen, a​us einer 2-Kanal-DWT w​ie z. B. d​en Daubechies-Wavelets e​ine M-Kanal-DWT z​u erhalten, w​obei M e​ine Potenz v​on zwei ist, d​er Exponent w​ird Tiefe d​es Paket-Baums genannt. Dieses Verfahren w​ird in d​er Breitbanddatenübertragung a​ls DWT-OFDM bzw. DWPT-OFDM a​ls Alternative z​ur schnellen Fourier-Transformation i​n der FFT-OFDM angewandt.

Hat die zugrundeliegende Wavelet-Transformation eine Skalierungsfunktion φ mit Tiefpassfilter ${\displaystyle a(Z)}$ (L-Kanal) und Bandpassfilter ${\displaystyle b(Z)}$ (H-Kanal), so ergeben sich die Wavelets der Kanäle zu

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{L}}(x/2)&:=a(S)\phi (x)=\sum _{n}a_{n}\phi (x-n)=\phi (x/2)\,,\\\psi _{\text{H}}(x/2)&:=b(S)\phi (x)=\sum _{n}b_{n}\phi (x-n)=\psi (x/2)\,,\end{aligned}}}$

wobei ${\displaystyle S}$ der Operator der Verschiebung (shift) um 1 in Richtung wachsender ${\displaystyle x}$-Werte ist, d. h. ${\displaystyle (Sf)(x)=f(x-1)}$. Potenzen von ${\displaystyle S}$ sind dann Verschiebungen um den Exponenten der Potenz, Laurent-Polynome in ${\displaystyle S}$ entsprechen den jeweiligen Linearkombinationen der verschobenen Funktionen.

Bis hier sind die Funktionen ${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle \psi }$ identisch mit den in der FWT auftretenden. Im zweiten Schritt ergeben sich neue Funktionen

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{LL}}(x/4)&:=a(S^{2})a(S)\phi (x)=\phi (x/4),\\\psi _{\text{LH}}(x/4)&:=b(S^{2})a(S)\phi (x)=\psi (x/4),\\\psi _{\text{HL}}(x/4)&:=a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HH}}(x/4)&:=b(S^{2})b(S)\phi (x)\,.\end{aligned}}}$

Ist das Spektrum von ${\displaystyle \phi (x)=\psi _{\text{LL}}(x)}$ nahezu optimal auf das Basisband ${\displaystyle \left[0,1/2\right]}$ beschränkt und sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ gute frequenzselektive digitale Filter für die sich 1-periodisch wiederholenden Intervalle ${\displaystyle \left[-1/4,1/4\right]}$ bzw. ${\displaystyle \left[1/4,3/4\right]}$, so wird das Spektrum von ${\displaystyle \psi (x)=\psi _{\text{LH}}(x)}$ auf ${\displaystyle \left[1/2,1\right]}$ konzentriert sein, das von ${\displaystyle \psi _{\text{LH}}(x)}$ auf ${\displaystyle (\left[-1/2,1/2\right]\cup \left[3/2,5/2\right])\cap \left[1,3\right]\cap \left[0,2\right]=\left[3/2,2\right]}$, das von ${\displaystyle \psi _{\text{HH}}(x)}$ auf ${\displaystyle (\left[1/2,3/2\right]\cup \left[5/2,7/2\right])\cap \left[1,3\right]\cap \left[0,2\right]=\left[1,3/2\right]}$, d. h. die Frequenzbänder der Kanäle sind in ${\displaystyle \left[0,2\right]}$, jedes mit Breite 1/2, in der Reihenfolge LL, LH, HH, HL angeordnet.

Im dritten Schritt dann

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{\text{LLL}}(x/8)&:=a(S^{4})a(S^{2})a(S)\phi (x)=\phi (x/8),\\\psi _{\text{LLH}}(x/8)&:=b(S^{4})a(S^{2})a(S)\phi (x)=\psi (x/8)\,,\\\psi _{\text{LHL}}(x/8)&:=a(S^{4})b(S^{2})a(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{LHH}}(x/8)&:=b(S^{4})b(S^{2})a(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HLL}}(x/8)&:=a(S^{4})a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HLH}}(x/8)&:=b(S^{4})a(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HHL}}(x/8)&:=a(S^{4})b(S^{2})b(S)\phi (x)\,,\\\psi _{\text{HHH}}(x/8)&:=b(S^{4})b(S^{2})b(S)\phi (x)\,.\end{aligned}}}$

usw.

In der folgenden Grafik wurden die Wavelets der dritten Stufe dargestellt, die sich aus dem Daubechies-12-Tap-Wavelet D12 ergeben, der Übersichtlichkeit halber ganzzahlig verschoben. Daneben die Amplituden der Fourier-Transformierten der einzelnen Wavelets. Man kann aus den Spektren im Amplitudenbereich oberhalb 0,7 die Aufteilung des Frequenzbandes ${\displaystyle \left[0,4\right]}$ in die acht Teilkanäle der Breite 1/2 mit der Reihenfolge LLL, HLL, HHL, LHL, LHH, HHH, HLH, LLH ablesen. Dies entspricht einer Variante eines Gray-Codes.

Weblinks

• Wavelet Packet Modulation for Wireless Communications (PDF, englisch; 677 kB)
• Implementierung der Wavelet-Paket-Transformation in Java (englisch; Softwareprojekt)