Wahre Länge (darstellende Geometrie)

Unter d​er wahren Länge versteht m​an in d​er darstellenden Geometrie d​ie tatsächliche Länge e​iner in Grund- u​nd Aufriss (s. Zweitafelprojektion) gegebenen Strecke i​m Raum. Ist d​ie Strecke z​ur Aufrisstafel bzw. Grundrisstafel parallel, s​o erscheint s​ie im Aufriss bzw. Grundriss unverkürzt. Für d​en allgemeinen (davon abweichenden) Fall g​ibt es z​wei Möglichkeiten, d​ie wahre Länge e​iner Strecke zeichnerisch z​u bestimmen. Beide werden h​ier am selben Beispiel beschrieben:

Möglichkeiten zur Bestimmung der wahren Länge einer Strecke

In der ersten Zeichnung sind zwei Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ in Grund- und Aufriss gegeben. Die Strecke ${\displaystyle AB}$ ist weder parallel zur Aufriss- noch zur Grundrisstafel. Die beiden weiteren Zeichnungen zeigen die beiden möglichen Lösungen.

1. Möglichkeit

Beispiel: wahre Länge und wahrer Neigungswinkel einer Dachkante

Man dreht die Strecke um eine zur Grundrisstafel (bzw. Aufrisstafel) senkrechte Achse durch ${\displaystyle B}$ bis sie parallel zur Aufrisstafel (bzw. Grundrisstafel) ist. Die gedrehte Strecke ${\displaystyle {\tilde {A}}B}$ erscheint dann im Aufriss unverzerrt, d. h. die Länge der Strecke ${\displaystyle {\tilde {A}}''B''}$ ist die wahre Länge.

Durchführung d​er Drehung:

1. Drehe ${\displaystyle A'}$ um ${\displaystyle B'}$, bis die Strecke parallel zur Risskante ${\displaystyle k_{12}}$ ist. Der gedrehte Punkt sei ${\displaystyle {\tilde {A}}'}$ (Grundriss von ${\displaystyle {\tilde {A}}}$, den um ${\displaystyle B}$ gedrehten Punkt ${\displaystyle A}$).
2. ${\displaystyle {\tilde {A}}''}$ liegt auf dem Ordner durch ${\displaystyle {\tilde {A}}'}$ und auf der Parallelen durch ${\displaystyle A''}$ zur Risskante ${\displaystyle k_{12}}$ (Bei der Drehung bleibt ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ auf gleicher Höhe wie ${\displaystyle A}$!).
3. ${\displaystyle |{\tilde {A}}''B''|}$ ist die wahre Länge der Strecke ${\displaystyle AB}$.

2. Möglichkeit

Man konstruiert den Punkt ${\displaystyle C}$ in Grund- und Aufriss, der unter dem Punkt ${\displaystyle A}$ auf der Höhe von ${\displaystyle B}$ liegt. Das rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle ABC}$ ist das Stützdreieck der Strecke ${\displaystyle AB}$ (eine Kathete ist senkrecht, die zweite ist horizontal). Dreht man das Stützdreieck um die Höhenlinie ${\displaystyle BC}$ in eine horizontale Lage ${\displaystyle {\tilde {A}}BC}$, so ist ${\displaystyle |{\tilde {A}}B|}$ die wahre Länge. Durchführung:

1. Zeichne den Aufriss ${\displaystyle C''}$ des Punktes ${\displaystyle C}$, der senkrecht unter ${\displaystyle A}$ liegt und dieselbe Höhe wie ${\displaystyle B}$ hat. Es ist ${\displaystyle C'=A'}$.
2. Man drehe das rechtwinklige Dreieck ${\displaystyle ABC}$ um die Kathete ${\displaystyle BC}$ um ${\displaystyle 90^{\circ }}$ parallel zur Grundrisstafel, indem man in ${\displaystyle A'=C'}$ senkrecht die Strecke ${\displaystyle C''A''}$ anträgt. Die Länge der Hypotenuse ${\displaystyle |{\tilde {A}}'B'|}$ des entstandenen (rechtwinkligen) Dreiecks ist die wahre Länge.

Bemerkung:

• Bei beiden Methoden ist auch der wahre Neigungswinkel der Strecke erkennbar.
• Mit der Umkehrung dieser Methode lassen sich auch wahre Längen antragen.
• Rechnerisch ist die Bestimmung der Länge einer Strecke eine leicht zu lösende Aufgabe. Denn aus Grund- und Aufriss lassen sich die Koordinaten der Punkte bzgl. eines vorgegebenen Koordinatensystems abmessen und mit der euklidischen Abstandsformel ${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}$ berechnen.

Bemerkung: Wahre Längen können a​uch für Zentralprojektionen bestimmt werden (s. Rekonstruktion (Darstellende Geometrie)).

Siehe auch

• Wahre Gestalt

Literatur

• Rudolf Fucke, Konrad Kirch, Heinz Nickel: Darstellende Geometrie für Ingenieure. 17. Auflage. Carl Hanser, München 2007, ISBN 3-446-41143-7, S. 39 f. (online bei google-books [abgerufen am 31. Mai 2013]).
• Cornelie Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. 4. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1838-6, S. 102 (online bei google-books [abgerufen am 31. Mai 2013]).

Weblinks

• Darstellende Geometrie für Architekten (PDF; 1,5 MB). Skript (Uni Darmstadt)
• Darstellende Geometrie für Bauingenieure (PDF; 1,2 MB). Skript (Uni Darmstadt)