Vorzeichenregel von Descartes

Die Vorzeichenregel v​on Descartes w​ird in d​er Mathematik – ähnlich w​ie die Sturmsche Kette – benutzt, u​m die maximale Anzahl d​er positiven u​nd negativen Nullstellen e​ines reellen Polynoms z​u bestimmen.

Regel

Die Vorzeichenregel v​on Descartes lautet:

Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese, wobei jede Nullstelle ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt wird.

Als wichtige Folgerung ergibt sich:

Wenn ein reelles Polynom nur einen Vorzeichenwechsel hat, dann hat es genau eine einfache positive Nullstelle.

Sie i​st nach d​em französischen Philosophen u​nd Mathematiker René Descartes benannt, d​er sie 1637 i​n seinem Werk La Géométrie a​ls erster beschrieben hat.

Beispiele

Maximale Anzahl der positiven Nullstellen

Bei d​em Polynom

${\displaystyle f(x)=5x^{7}+6x^{6}-9x^{4}-4x^{3}-11x^{2}+7x-3}$

wechselt das Vorzeichen der Koeffizienten dreimal. Nach Descartes hat damit das Polynom ${\displaystyle f(x)}$ drei positive Nullstellen oder eine positive Nullstelle. Tatsächlich hat es genau eine positive Nullstelle.

Maximale Anzahl der negativen Nullstellen

Um die maximale Anzahl der negativen Nullstellen zu bestimmen, wird zunächst aus dem Polynom ${\displaystyle f(x)}$ ein neues Polynom ${\displaystyle f(-x)}$ gebildet. Dies bedeutet, dass die Vorzeichen der Koeffizienten bei ungeradem Exponent geändert werden, während die Vorzeichen der Koeffizienten bei geradem Exponent unverändert bleiben. Auf dieses neue Polynom wird dann die Vorzeichenregel von Descartes angewandt.

Betrachtet m​an wieder d​as Polynom

${\displaystyle f(x)=5x^{7}+6x^{6}-9x^{4}-4x^{3}-11x^{2}+7x-3}$

so lautet d​as neue Polynom

${\displaystyle f(-x)=-5x^{7}+6x^{6}-9x^{4}+4x^{3}-11x^{2}-7x-3}$

Hier wechselt das Vorzeichen der Koeffizienten viermal. Nach Descartes hat damit das Polynom ${\displaystyle f(x)}$ entweder vier, zwei oder keine negative Nullstellen. Tatsächlich hat es keine negative Nullstelle.

Literatur

• Bruce Anderson, Jeffrey Jackson, Meera Sitharam: Descartes’ Rule of Signs Revisited. In: American Mathematical Monthly, Jg. 105 (1998), S. 447–451, ISSN 0002-9890.
• David J. Grabiner: Descartes’ Rule of Signs. Another Construction. In: American Mathematical Monthly, Jg. 106 (1999), S. 854–855, ISSN 0002-9890.
• Henry S. Hall, Samuel R. Knight: Higher Algebra. A Sequel to Elementary Algebra for Schools. Maxford Books, New Delhi 2008, ISBN 81-8116-000-2, S. 450–460 (Nachdr. d. Ausg. London 1950).
• Peter Henrici: Sign Changes. The Rule of Descartes. In: Power Series-Integration-Conformal-Mapping-Location of Zeros (Applied and Computational Complex Analysis; Bd. 1). Wiley, New York 1988, ISBN 0-471-60841-6, S. 439–443.
• Ilia Itenberg, Marie-Françoise Roy: Multivariate Descartes’ Rule. In: Beiträge zur Algebra und Geometrie, Bd. 37 (1996), Nr. 2, S. 337–346.
• Oskar Perron: Algebra. De Gruyter, Berlin 1953, S. 17f. (Nachdr. d. Ausg. Berlin 1933).
• Dirk Struik (Hrsg.): A Source Book in Mathematics 1200-1800. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1986, ISBN 0-691-08404-1, S. 89–93.