Vollständigkeit (Statistik)

Als Vollständigkeit bezeichnet m​an in d​er Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik, e​ine Eigenschaft v​on Verteilungsklassen, σ-Algebren o​der messbaren Funktionen. Im Allgemeinen s​ind vollständige Verteilungsklassen „groß“, wohingegen vollständige σ-Algebren „klein“ sind.

Die Vollständigkeit spielt m​eist in Verbindung m​it der Suffizienz e​ine Rolle. So liefert s​ie Kriterien für d​ie Minimalsuffizienz o​der die Existenz gleichmäßig bester erwartungstreuer Schätzer mittels d​es Satzes v​on Lehmann-Scheffé.

Definition

Für Verteilungsklassen

Gegeben sei ein Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ und eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf diesem Messraum. Dann heißt ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ vollständig, wenn die Menge der ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-Nullschätzer ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-trivial ist. Sprich für alle

${\displaystyle f\in {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}}){\text{ mit }}\operatorname {E} _{P}(f)=0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} P\in {\mathcal {P}}}$

gilt

${\displaystyle f=0\quad {\mathcal {P}}-{\text{fast sicher}}}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ den Raum aller ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum).

Für σ-Algebren

Eine Unter-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ heißt vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, wenn ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\mathcal {T}}}$ vollständig auf dem Messraum ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ ist. Dabei bedeutet ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\mathcal {T}}}$, dass man den Definitionsbereich aller Wahrscheinlichkeitsmaße in ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ auf die kleinere σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ einschränkt.

Für Statistiken

Eine Statistik

${\displaystyle T:(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {A}}^{*})}$

heißt vollständig, wenn die von ihr erzeugte σ-Algebra ${\displaystyle \sigma (T)}$ vollständig ist bzw. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\sigma (T)}}$ vollständig ist.

Häufig wird die Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ mit einem Index ${\displaystyle \vartheta }$ versehen, man schreibt dann ${\displaystyle {\mathcal {P}}=(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }}$. Formuliert man in dieser Schreibweise die Vollständigkeit aus, so erhält man die gängige Definition:

Eine Statistik ${\displaystyle T}$ heißt vollständig, wenn für alle integrierbaren ${\displaystyle g}$ mit

${\displaystyle \operatorname {E} _{\vartheta }(g(T))=0\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$

immer folgt, dass

${\displaystyle P_{\vartheta }(g(T)=0)=1\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} \vartheta \in \Theta }$.

Erläuterung

Intuitiv zugänglicher ist die folgende Definition der Vollständigkeit einer Verteilungsklasse: Eine Verteilungsklasse ist vollständig, genau dann wenn sie eine trennende Familie für ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ ist. Das heißt, für beliebige ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ mit

${\displaystyle \int f\mathrm {d} P=\int g\mathrm {d} P\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle\;} P\in {\mathcal {P}}}$

folgt

${\displaystyle f=g\quad {\mathcal {P}}-{\text{fast sicher}}}$

Die Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ist also groß genug, um alle Funktionen aus ${\displaystyle {\mathcal {L}}(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ unterscheiden zu können.

Gegenbeispiele

Seien ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert ${\displaystyle \vartheta }$ und beschränkter Varianz.

Dann ist ${\displaystyle \operatorname {E} [X_{1}-X_{2}]=\operatorname {E} [g(X_{1},X_{2})]=0}$. Die Funktion ${\displaystyle g}$ ist also ein erwartungstreuer Schätzer von 0 und der Integrand ist nicht die Nullfunktion.

Präzisierungen

Beschränkte Vollständigkeit

Sei ${\displaystyle B(X,{\mathcal {A}})}$ die Menge der beschränkten Funktionen auf ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. Eine Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ heißt beschränkt vollständig, wenn sie vollständig für ${\displaystyle B(X,{\mathcal {A}})\cap L(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ ist. Die Definitionen einer beschränkt vollständigen σ-Algebra und einer beschränkt vollständigen Statistik folgen wie oben.

L-Vollständigkeit

Für eine gegebene Menge von Funktionen ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ heißt eine Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständig, wenn sie vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {L}}\cap L(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ ist. Die Definitionen einer ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständigen σ-Algebra und einer ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständigen Statistik folgen wie oben.

Beschränkte L-Vollständigkeit

Die beiden obigen Begriffe lassen sich auch kombinieren: Eine Verteilungsklasse heißt beschränkt ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständig, wenn sie vollständig für ${\displaystyle {\mathcal {L}}\cap B(X,{\mathcal {A}})\cap L(X,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ ist. Die Definitionen einer beschränkt ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständigen σ-Algebra und einer beschränkt ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-vollständigen Statistik folgen wie oben.

Anwendung

Statistische Vollständigkeit i​st eine Voraussetzung für d​en Satz v​on Lehmann-Scheffé, i​n diesem Zusammenhang w​urde der Begriff v​on E. L. Lehmann u​nd H. Scheffé a​uch in d​ie Statistik eingeführt. Die Sätze v​on Basu stellen e​inen Zusammenhang zwischen d​er Vollständigkeit, d​er Suffizienz u​nd der Verteilungsfreiheit her.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• Claudia Czado, Thorsten Schmidt: Mathematische Statistik. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-17260-1, doi:10.1007/978-3-642-17261-8.
• E.L. Lehmann, H. Scheffé: Completeness, similar regions, and unbiased estimation. I. In: Sankhyā. 10, Nr. 4, 1950, S. 305–340.
• E.L. Lehmann, H. Scheffé: Completeness, similar regions, and unbiased estimation. II. In: Sankhyā. 15, Nr. 3, 1955, S. 219–236.
• Helmut Pruscha: Vorlesungen über Mathematische Statistik. B. G. Teubner, Stuttgart 2000, ISBN 3-519-02393-8, Abschnitt II.3.