Sätze von Basu

Die Sätze v​on Basu s​ind drei Aussagen d​er mathematischen Statistik, d​ie eine Verbindung zwischen d​er Suffizienz, d​er Vollständigkeit u​nd der Verteilungsfreiheit herstellen.

Sie wurden 1955 d​urch Debabrata Basu aufgestellt u​nd bewiesen.

Sätze

Für alle Sätze sei stets ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ ein statistisches Modell mit Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$, σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und Verteilungsklasse ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Außerdem seien ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}$ Unter-σ-Algebren von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Beziehung Suffizienz, Vollständigkeit und Verteilungsfreiheit

Ist

${\displaystyle f:(\Omega ,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {X}})}$

eine verteilungsfreie Statistik u​nd ist

${\displaystyle g:(\Omega ,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {Y}})}$

eine suffiziente und beschränkt vollständige Statistik, so sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ für alle ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ stochastisch unabhängige Zufallsvariablen.

Verteilungsfreiheit und unabhängige suffiziente σ-Algebren

Es existiere für alle ${\displaystyle {\underline {P}},{\overline {P}}\in {\mathcal {P}}}$ eine Menge von ${\displaystyle (P_{i})_{i=1,\dots ,n}\in {\mathcal {P}}}$, so dass ${\displaystyle {\underline {P}}=P_{1},P_{2},\dots ,P_{n}={\overline {P}}}$

und ${\displaystyle P_{i}}$ und ${\displaystyle P_{i+1}}$ nicht singulär zueinander sind. Sind ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ stochastisch unabhängige σ-Algebren für alle ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ und ist ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine suffiziente σ-Algebra, so ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine verteilungsfreie σ-Algebra.

Suffizienz von maximalen Ergänzungen

Seien ${\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}}$ stochastisch unabhängig für alle ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ und sei ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ verteilungsfrei. Ist dann ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})={\mathcal {A}}}$, so ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ suffizient.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.