Vermutung von Elliott und Halberstam

Die Vermutung v​on Elliott u​nd Halberstam (EH, n​ach Peter D. T. A. Elliott u​nd Heini Halberstam 1968) a​us der analytischen Zahlentheorie betrifft d​en Fehlerterm i​n dem Dirichletschen Satz über d​ie Primzahlverteilung i​n arithmetischen Progressionen.[1]

Sei ${\displaystyle \pi (x)}$ die Primzahlfunktion (Anzahl der Primzahlen kleiner gleich ${\displaystyle x}$) und ${\displaystyle \pi (x,q,a)}$ die Anzahl der Primzahlen ${\displaystyle y\leq x}$ mit ${\displaystyle y=a\mod q}$ (mit ${\displaystyle a}$ teilerfremd zu ${\displaystyle q}$). Nach dem Dirichletschen Primzahlsatz ist:

${\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}}$

mit der Eulerschen Phi-Funktion ${\displaystyle \varphi }$. Sei

${\displaystyle E(x;q)=\max _{{\text{gcd}}(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|}$

die Fehlerfunktion dieser Verteilung.

Die Vermutung v​on Elliott u​nd Halberstam lautet:

Für jedes ${\displaystyle \theta <1}$ und ${\displaystyle A>0}$ gibt es eine Konstante ${\displaystyle C>0}$, so dass:

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq {\frac {Cx}{\log ^{A}x}}}$

für alle ${\displaystyle x>2}$.

Für ${\displaystyle \theta =1}$[2] ist die Vermutung falsch, für ${\displaystyle \theta <{\frac {1}{2}}}$ ist sie Inhalt des Satzes von Bombieri und Winogradow.

Wie Dan Goldston, János Pintz u​nd Cem Yıldırım[3] zeigten, f​olgt aus d​er Vermutung, d​ass es unendlich v​iele Paare v​on Primzahlen gibt, d​ie maximalen Abstand 16 haben. James Maynard konnte d​as ebenfalls u​nter Voraussetzung d​er Vermutung a​uf 12 verbessern.[4] Das Polymath-Projekt (Polymath 8, Terence Tao u. a.) konnte d​as unter Voraussetzung d​er verallgemeinerten Vermutung v​on Elliott u​nd Halberstam a​uf 6 verbessern.[5] Ohne Benutzung e​iner Vermutung i​st die b​este Schranke z​ur Zeit (2019) 246 (siehe Primzahlzwilling).

Terry Tao zeigte 2014[6], dass die Vermutung von Winogradow über die Größenordnung der kleinsten quadratische Nicht-Reste (mod p) ${\displaystyle n(p)}$ aus der Elliott-Halberstam-Vermutung folgt. Winogradows Vermutung besagt ${\displaystyle n(p)=O(p^{\varepsilon })}$ für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$. Die Vermutung von Winogradow folgt nach Linnik auch aus der verallgemeinerten Riemannschen Vermutung.

Verallgemeinerte Vermutung von Elliott und Halberstam

Die verallgemeinerte Vermutung v​on Elliott u​nd Halberstam (GEH) betrifft d​en Fall, d​ass nicht d​ie Mangoldt-Funktion betrachtet w​ird wie i​m Satz v​on Bombieri u​nd Winogradow, sondern allgemein arithmetische Funktionen m​it bestimmten Zusatzeigenschaften, insbesondere sollten s​ie sich a​ls Dirichlet-Faltung zweier Folgen darstellen lassen (siehe unten). Dass a​uch hier e​in Analogon d​es Satzes v​on Bombieri u​nd Winogradow gilt, w​urde von Yōichi Motohashi (1976) gezeigt. Enrico Bombieri, John Friedlander u​nd Henryk Iwaniec[7] vermuteten, d​ass dann ebenfalls e​in Analogon z​ur Vermutung v​on Elliott u​nd Halberstam besteht. Die Elliott-Halberstam-Vermutung EH f​olgt aus GEH.

Seien ${\displaystyle \alpha (m)}$, ${\displaystyle \beta (n)}$ zwei Folgen komplexer Zahlen und ${\displaystyle M,N}$ positive ganze Zahlen, so dass für ${\displaystyle x>2}$[8][9]

• ${\displaystyle MN\leq x}$
• ${\displaystyle x^{\frac {1}{3}}<N\leq M<x^{\frac {2}{3}}}$
• Der Träger von ${\displaystyle \alpha (m)}$ liegt in ${\displaystyle (M,2M]}$ und der von ${\displaystyle \beta (n)}$ in ${\displaystyle (N,2N]}$
• ${\displaystyle \beta (n)}$ erfüllt die Siegel-Walfisz-Bedingung:

${\displaystyle \left|\sum _{n\leq x \atop n=a\mod q}\beta (n)-{\frac {1}{\phi (q)}}\sum _{n\leq x \atop (n,q)=1}\beta (n)\right|=O({\frac {\|\beta \|{\sqrt {x}}}{{\log x}^{A}}})}$

für festes ${\displaystyle A>0}$ und eine ganze Zahl ${\displaystyle a}$ mit ${\displaystyle (a,q)=1}$. ${\displaystyle \|\beta \|}$ ist die komplexe euklidische Norm:

${\displaystyle \|\beta \|={\sqrt {\sum _{n}{|\beta (n)|}^{2}}}}$

• Für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n,m}$ gilt ${\displaystyle |\alpha (m)|=O({d(m)}^{A}{\log(x)}^{B})}$ und ${\displaystyle |\beta (n)|=O({d(n)}^{A}{\log(x)}^{B})}$, wobei ${\displaystyle d(n)}$ die Anzahl der Teiler von ${\displaystyle n}$ ist.

Die GEH ist dann die Vermutung, dass für gegebenes ${\displaystyle \epsilon >0}$, ${\displaystyle A>0}$ ( mit ${\displaystyle Q=x^{1-\epsilon }}$) und für jede ganze Zahl ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \sum _{q\leq Q \atop (q,a)=1}\left|\sum _{n=a\mod q}(\alpha *\beta )(n)-{\frac {1}{\phi (q)}}\sum _{(n,q)=1}(\alpha *\beta )(n)\right|=O({\frac {\|\alpha \|\|\beta \|{\sqrt {x}}}{{\log(x)}^{A}}})}$

Dabei ist die Dirichlet-Faltung ${\displaystyle (\alpha *\beta )(n)=\sum _{ab=n}\alpha (a)\beta (b)}$

Das Polymath-Projekt zeigte u​nter Annahme v​on GEH, d​ass mindestens e​ine der beiden Sätze gilt: Die Primzahlzwillingsvermutung o​der die folgende „Fast“-Goldbachvermutung: Sei n e​in genügend großes Vielfaches v​on 6, d​ann ist n o​der n+2 d​ie Summe zweier Primzahlen.[5]

Nach d​em Fortschritt b​ei der Primzahlzwillingsvermutung d​urch das Polymath-Projekt gelang a​uch bei anderen Problemen e​in Fortschritt u​nter Voraussetzung v​on GEH, s​o von M. Ram Murty u​nd Akshaa Vatwani[10] b​ei der Artin-Vermutung über primitive Wurzeln u​nd der Vermutung v​on Serge Lang u​nd Hale Trotter für elliptische Kurven m​it komplexer Multiplikation.

Einzelnachweise

1. Elliott, Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symposia Mathematica IV, INDAM, Rom 1968, Academic Press 1970, S. 59–72
2. John Friedlander, Andrew Granville, Limitations to the equidistribution of primes, Annals of Mathematics, Band 129, 1989, S. 363–382
3. Goldston, Pintz, Yildirim, Small gaps between primes exist
4. Maynard, Small gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 181, 2015, S. 383–413
5. D.H.J. Polymath: Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, Research in the Mathematical Sciences, Band 1, Nr. 12, 2014
6. Tao, The Elliott-Halberstam conjecture implies the Vinogradov least quadratic nonresidue conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 1005–1034, Arxiv
7. Bombieri, Friedlander, Iwaniec, Primes in arithmetic progressions to large moduli, Acta Mathematica, Band 156, 1986, S. 203–251
8. Kevin Broughton, Equivalences of the Riemann Hypothesis, Cambridge UP 2017, S. 329
9. Für eine etwas andere Formulierung siehe Polymath, Research in the Mathematical Sciences, Band 1, 2014, Nr. 12
10. Ram Murty, Vatwani, A remark on the Lang-Trotter and Artin conjectures, Proc. American Mathematical Society, Band 114, 2018, S. 3191–3202