Verma-Modul

In d​er Mathematik i​st der Verma-Modul e​in unendlich-dimensionaler Modul über d​er universellen einhüllenden Algebra e​iner Lie-Algebra, a​us dem s​ich die endlich-dimensionalen Darstellungen e​ines gegebenen höchsten Gewichts gewinnen lassen.

Konstruktion

Sei eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, eine Cartan-Unteralgebra, das Wurzelsystem mit als Menge der positiven Wurzeln. Für jedes wählen wir ein und .

Zu einem Gewicht konstruiert man den Verma-Modul als Quotient

der universellen einhüllenden Algebra nach dem Linksideal erzeugt von allen Elementen der Form

und

.

Für einen Vektor höchsten Gewichts ist die durch

definierte Abbildung ein surjektiver Homomorphismus.

Beispiel sl(2,C)

Wir betrachten das Beispiel . Für wählen wir den Aufspann von .

Für ein beliebiges definieren wir durch . Wir wählen und .

Dann wird der Verma-Modul von linear unabhängigen Vektoren erzeugt und wirkt durch

.

Wegen ist der von aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum. Der Quotient von nach diesem Unterraum gibt die endlich-dimensionale Darstellung von mit höchstem Gewicht .

Universelle Eigenschaft

Zu jeder Darstellung von , deren höchstes Gewicht ist, gibt es einen surjektiven Lie-Algebren-Homomorphismus .

Literatur

  • Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
  • Humphreys, J. (1980), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.
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