Verklebungslemma

Das Verklebungslemma (englisch Glueing lemma (bzw. Gluing lemma) o​der Pasting lemma) i​st ein elementarer Lehrsatz d​es mathematischen Teilgebiets d​er Allgemeinen Topologie.[1] Es zeigt, w​ie unter gewissen Bedingungen stetige Abbildungen a​uf topologischer Räumen a​us solchen a​uf Unterräumen stückweise zusammengefügt u​nd damit gewissermaßen „zusammengeklebt“ werden können.[2][3]

Formulierung des Lemmas

Es lässt s​ich zusammengefasst u​nd in allgemeiner Darstellung formulieren w​ie folgt:[4][5][2][3][6]

Gegeben seien zwei topologische Räume ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

Weiter gegeben seien eine Überdeckung ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ von ${\displaystyle X}$ und dazu eine Familie stetiger Abbildungen ${\displaystyle f_{i}\colon \,A_{i}\to Y}$.[7]

Dabei möge gelten:

(1) Für ${\displaystyle i,j\in I}$ und ${\displaystyle x\in A_{i}\cap A_{j}}$ sei stets ${\displaystyle f_{i}(x)=f_{j}(x)}$.

(2) Die ${\displaystyle A_{i}}$ seien entweder allesamt offene Teilmengen oder aber allesamt abgeschlossene Teilmengen von ${\displaystyle X}$, wobei letzterenfalls zusätzlich gelten solle, dass die Familie ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ eine lokalendliche Überdeckung von ${\displaystyle X}$ darstelle.

Dann gilt:

Durch die Zuordnungsvorschrift

${\displaystyle x\mapsto f(x):=f_{i}(x)\;(i\in I\;,\;x\in A_{i})}$

ist eine Abbildung

${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$

gegeben und diese ist stetig.

Folgerung

Das Lemma schließt d​as folgende häufig benutzte Kriterium i​n sich ein:[8]

Hat ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ eine offene Überdeckung ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ oder eine endliche abgeschlossene Überdeckung ${\displaystyle (A_{i})_{i=1,\ldots ,n}\;(n\in \mathbb {N} )}$, so ist eine auf ihm gegebene Abbildung ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$ in einen weiteren topologischen Raum ${\displaystyle Y}$ genau dann stetig, wenn jede einzelne eingeschränkte Abbildung ${\displaystyle f|_{A_{i}}}$ stetig ist.

Zum Beweis

Der Beweis des Lemmas beruht wesentlich auf der folgenden, für jede Teilmenge ${\displaystyle B\subseteq Y}$ gültigen Gleichung

${\displaystyle f^{-1}(B)=\bigcup _{i\in I}{f_{i}}^{-1}(B)}$

sowie der Tatsache, dass (unter den jeweiligen Bedingungen!) eine Teilmenge ${\displaystyle A\subseteq X}$ offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ${\displaystyle X}$ ist dann und nur dann, wenn jede der Schnittmengen ${\displaystyle A\cap A_{i}\;(i\in I)}$ offen (beziehungsweise abgeschlossen) in ${\displaystyle A_{i}}$ ist.

Siehe auch

• Finaltopologie

Literatur

• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813).
• Fred H. Croom: Principles of Topology. Saunders, Philadelphia 1989, ISBN 0-03-012813-7.
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
• I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry (= Undergraduate texts in mathematics). Springer Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1976, ISBN 0-387-90202-3 (MR0413152).
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Einzelnachweise und Fußnoten

1. In dem Lehrbuch von Camps/Kühling/Rosenberger (S. 57 & 519) ist im Zusammenhang mit diesem Lehrsatz auch die Rede von ein[em] Fortsetzungssatz.
2. Fred H. Croom: Principles of Topology. 1989, S. 151
3. I. M. Singer, J. A. Thorpe: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. 1976, S. 51
4. Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 43
5. Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 57
6. In der Fachliteratur - so etwa bei Camps/Kühling/Rosenberger wie auch bei Croom und bei Singer/Thorpe - wird häufig allein der Fall von Überdeckungen mit zwei Teilmengen betrachtet.
7. Hier ist stets Stetigkeit in Bezug auf die induzierte Unterraumtopologie gemeint.
8. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 27–28