Vergleichssatz von Rauch

In d​er Mathematik i​st der Vergleichssatz v​on Rauch, benannt n​ach Harry Rauch, e​in grundlegender Lehrsatz d​er riemannschen Geometrie.

Formulierung des Satzes

Seien ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ riemannsche Mannigfaltigkeiten und ${\displaystyle \gamma _{1}\colon \left[0,a\right]\to M_{1},\gamma _{2}\colon \left[0,a\right]\to M_{2}}$ Geodätische mit ${\displaystyle \vert \gamma _{1}^{\prime }(t)\vert =\vert \gamma _{2}^{\prime }(t)\vert }$ für alle ${\displaystyle t}$. Sei ${\displaystyle J_{1}}$ ein Jacobi-Feld entlang ${\displaystyle \gamma _{1}}$ und ${\displaystyle J_{2}}$ ein Jacobi-Feld entlang ${\displaystyle \gamma _{2}}$ mit

${\displaystyle J_{1}(0)=J_{2}(0)=0,\langle J_{1}^{\prime }(0),\gamma _{1}^{\prime }(0)\rangle =\langle J_{2}^{\prime }(0),\gamma _{2}^{\prime }(0)\rangle ,\vert J_{1}^{\prime }(0)\vert =\vert J_{2}^{\prime }(0)\vert }$

Man nehme an, dass ${\displaystyle \gamma _{2}}$ keine konjugierten Punkte hat und dass für alle ${\displaystyle t}$ und alle ${\displaystyle v_{1}\in T_{\gamma _{1}(t)}M,v_{2}\in T_{\gamma _{2}(t)}M}$ die Ungleichung

${\displaystyle K(v_{1},\gamma _{1}^{\prime }(t))\leq K(v_{2},\gamma _{2}^{\prime }(t))}$

für d​ie Schnittkrümmungen d​er aufgespannten Ebenen gilt.

Dann ist

${\displaystyle \vert J_{1}(t)\vert \geq \vert J_{2}(t)\vert }$

für alle ${\displaystyle t}$. Falls für ein ${\displaystyle t_{0}}$ die Gleichheit ${\displaystyle \vert J_{1}(t_{0})\vert =\vert J_{2}(t_{0})\vert }$ gilt, muss ${\displaystyle K(J_{1}(t),\gamma _{1}^{\prime }(t))=K(J_{2}(t),\gamma _{2}^{\prime }(t))}$ für alle ${\displaystyle t\in \left[0,t_{0}\right]}$ sein.[1]

Folgerungen

Aus dem Vergleichssatz von Rauch folgt ein Dreiecksvergleich für Mannigfaltigkeiten mit einer unteren Krümmungsschranke: In einer Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ${\displaystyle K\geq K_{0}}$ sind Dreiecke dicker als Dreiecke mit denselben Seitenlängen in der (einfach zusammenhängenden) Vergleichs-Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung ${\displaystyle K_{0}}$. (Der analoge Dreiecksvergleich für Mannigfaltigkeiten mit oberer Krümmungsschranke wurde von Alexandrow und Toponogow bewiesen.)

Rauch bewies den Vergleichssatz ursprünglich um zu zeigen, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit der Schnittkrümmung ${\displaystyle 0.76\leq K\leq 1}$ homöomorph zur Sphäre sein muss. Das wurde später von Klingenberg und Berger zum Sphärensatz verbessert.

Literatur

• H. E. Rauch: A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38–55
• M. do Carmo: Riemannian geometry, Birkhäuser, Basel (1992). ISBN 978-0-8176-3490-2

Einzelnachweise

1. Detlef Gromoll, Wilhelm Klingenberg, Wolfgang Meyer: Riemannsche Geometrie im Großen, Springer Verlag (1975), Lecture Notes in Mathematics 55, ISBN 3-540-07133-4, Kapitel 6.3: Der Vergleichssatz von Rauch