Verdopplungszeit

Die Verdopplungszeit (auch Verdoppelungszeit o​der Doppelwertszeit genannt) bezeichnet d​ie Zeitspanne, i​n der s​ich eine exponentiell wachsende Größe (beispielsweise d​ie Bevölkerung e​ines Landes o​der eine Tierpopulation) verdoppelt. Sie ermöglicht e​ine bessere Vergleichbarkeit d​es Wachstums unterschiedlicher Größen gegenüber d​em Vergleich anhand d​er absoluten Größenänderung. Eine kürzere Verdopplungszeit bedeutet e​in schnelleres Wachstum, e​ine längere Verdopplungszeit e​in langsameres Wachstum. Die Verdopplungszeit i​st mathematisch m​it der Halbwertszeit verwandt. In d​er Mikrobiologie w​ird sie a​uch als Generationszeit bezeichnet.

Definition

Die Verdopplungszeit wird mit folgender Gleichung aus der Wachstumsrate ${\displaystyle p}$ oder dem Wachstumsfaktor ${\displaystyle q}$ berechnet[1]:

${\displaystyle t_{V}={\frac {\ln(2)}{\ln(1+p)}}={\frac {\ln(2)}{\ln(q)}}}$

Beispiel: Wächst die Bevölkerung eines Landes jährlich um 2 % beträgt der Wachstumsfaktor ${\displaystyle q=1{,}02}$. Daraus ergibt sich eine Verdopplungszeit von ${\displaystyle t_{V}={\tfrac {\ln(2)}{\ln(1{,}02)}}\approx 35{,}0028}$. Die Bevölkerung verdoppelt sich also etwa alle 35 Jahre.

Eine näherungsweise Berechnung aus der Wachstumsrate ${\displaystyle p}$ (in Prozent angegeben) ist z. B. mit der 72er-Regel möglich: ${\displaystyle t_{V}\approx {\tfrac {72}{p}}}$. Beispiel: Bei einem jährlichen Bevölkerungswachstum von 2 % beträgt die Verdopplungszeit etwa ${\displaystyle t_{V}\approx {\tfrac {72}{2}}=36}$ Jahre.

Herleitung

Gegeben ist die zeitlich exponentiell wachsende Größe ${\displaystyle N}$. Es gilt folgende Exponentialfunktion:

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot (q)^{t}}$,   mit   ${\displaystyle N_{0}\neq 0}$.

Zum Zeitpunkt ${\displaystyle t=t_{V}}$ soll sich der Wert verdoppelt haben, d. h.

${\displaystyle N(t=t_{V})=N_{0}\cdot (q)^{t_{V}}=2\cdot N_{0}}$.

Eine Division durch ${\displaystyle N_{0}}$ sowie Logarithmieren führt auf

${\displaystyle \ln(q)^{t_{V}}=\ln(2)}$.

Mit d​em Logarithmengesetz für Potenzen ergibt sich

${\displaystyle t_{V}\cdot \ln(q)=\ln(2)}$

und schließlich

${\displaystyle t_{V}={\frac {\ln(2)}{\ln(q)}}}$.

Einzelnachweise

1. Verdopplungszeit - Mathebibel.de. Abgerufen am 4. April 2020.