Verdichtete Menge

Eine verdichtete Menge i​st in d​er verdichteten Mathematik (englisch condensed mathematics, deutsch a​uch ‚kondensierte Mathematik‘ genannt[1]) e​ine Garbe a​uf einer Kategorie v​on Stone-Räumen. Die Grundidee ist, anstelle e​ine algebraische Struktur m​it einer Topologie z​u versehen, s​ie als verdichtete Menge aufzufassen. So lassen s​ich "verdichtete" algebraische Strukturen definieren, d​ie bessere kategorielle Eigenschaften besitzen a​ls herkömmliche topologische algebraische Strukturen. Die Theorie w​ird seit 2018 v​on Dustin Clausen u​nd Peter Scholze entwickelt. Unabhängig u​nd zeitgleich entwickelten Clark Barwick u​nd Peter Haine pyknotische Mengen.[2]

Definition

Vereinfachte Definition

Der proétale Situs eines Punktes ${\displaystyle *_{\mathrm {proet} }}$ ist die Kategorie der Stone-Räume mit stetigen Abbildungen und der Grothendieck-(Prä)Topologie, die durch endliche und gemeinsam surjektive Familien stetiger Abbildungen gegeben ist. Eine verdichtete Menge ist eine Garbe von Mengen auf ${\displaystyle *_{\mathrm {proet} }}$.[3]

Da ${\displaystyle *_{\mathrm {proet} }}$ keine kleine Kategorie ist, birgt diese Definition mengentheoretische Probleme.[4] Wir geben die richtige Definition im nächsten Abschnitt.

Vollständige Definition

Für jede überabzählbare starke Limes-Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$ sei ${\displaystyle *_{\kappa {\text{-}}\mathrm {proet} }}$ die Kategorie von Stone-Räumen von Mächtigkeit ${\displaystyle <\kappa }$. Die Grothendieck-Topologie ist wieder durch endliche und gemeinsam surjektive Familien stetiger Abbildungen gegeben. Eine ${\displaystyle \kappa }$-verdichtete Menge ist eine Garbe von Mengen auf ${\displaystyle *_{\kappa {\text{-}}\mathrm {proet} }}$. Wir bezeichnen die Kategorie der ${\displaystyle \kappa }$-verdichteten Mengen mit ${\displaystyle {\mathsf {Cond}}_{\kappa }(\mathrm {Set} )}$.

Ist ${\displaystyle \kappa '>\kappa }$ eine weitere starke Limes-Kardinalzahl, so ist durch Einschränken von Garben ein Funktor ${\displaystyle {\mathsf {Cond}}_{\kappa '}(\mathrm {Set} )\to {\mathsf {Cond}}_{\kappa }(\mathrm {Set} )}$ definiert. Dieser besitzt einen volltreuen linksadjungierten ${\displaystyle i_{\kappa ,\kappa '}:{\mathsf {Cond}}_{\kappa }(\mathrm {Set} )\to {\mathsf {Cond}}_{\kappa '}(\mathrm {Set} )}$.[5]

Die Kategorie verdichteter Mengen ist nun als Kolimes ${\displaystyle {\mathsf {Cond}}(\mathrm {Set} ):=\mathrm {colim} _{\kappa }{\mathsf {Cond}}_{\kappa }(\mathrm {Set} )}$ entlang ${\displaystyle i_{\kappa ,\kappa '}}$ definiert, wobei ${\displaystyle \kappa }$ alle überabzählbaren starken Limes-Kardinalzahlen durchläuft.[6] Bei diesem Kolimes handelt es sich effektiv um eine Vereinigung, die durch eine echte Klasse indiziert ist. Das ist unproblematisch, weil die Übergangsfunktoren volltreu sind und die Klasse der starken Limes-Kardinalzahlen total geordnet ist.

Als Funktor auf extremal unzusammenhängenden Stone-Räumen

Einschränkung auf die Kategorie ${\displaystyle \mathrm {Ex} _{\kappa }}$ extremal unzusammenhängender Stone-Räume von Mächtigkeit ${\displaystyle <\kappa }$ definiert eine Kategorienäquivalenz zwischen ${\displaystyle {\mathsf {Cond}}_{\kappa }(\mathrm {Set} )}$ und der Kategorie der Funktoren ${\displaystyle F:\mathrm {Ex} _{\kappa }^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Set} }$ mit folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle F(\emptyset )}$ ist eine einelementige Menge.
• Für zwei Stone-Räume ${\displaystyle S_{1}}$ und ${\displaystyle S_{2}}$ ist die natürliche Abbildung ${\displaystyle F(S_{1}\sqcup S_{2})\to F(S_{1})\times F(S_{2})}$ bijektiv.

Topologische Räume als verdichtete Mengen

Eine verdichtete Menge sollte als alternative Definition von topologischem Raum betrachtet werden. Ist ${\displaystyle X}$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist durch ${\displaystyle {\underline {X}}(S):={\mathcal {C}}(S,X)}$ eine verdichtete Menge definiert. Das definiert einen Funktor ${\displaystyle \mathrm {Top} \to {\mathsf {Cond}}_{\kappa }(\mathrm {Set} )}$, der beispielsweise auf der Kategorie sequentieller Räume volltreu ist.

Kategorielle Eigenschaften

Die Kategorie verdichteter Mengen erfüllt d​ie Axiome v​on Giraud m​it einer einzigen Ausnahme: Sie h​at keine kleine erzeugende Menge. Sie i​st in diesem Sinne "fast" e​in Grothendieck-Topos.

Wie i​n jedem Grothendieck-Topos s​ind quasikompakte u​nd quasiseparierte Objekte definiert. Sie können w​ie folgt charakterisiert werden:

• Eine verdichtete Menge ${\displaystyle X}$ ist genau dann quasikompakt, wenn es einen Stone-Raum und einen surjektiven Morphismus ${\displaystyle S\to X}$ gibt.
• ${\displaystyle X}$ ist genau dann quasisepariert, wenn für je zwei Stone-Räume ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ und Morphismen ${\displaystyle S_{1},S_{2}\to X}$ das Faserprodukt ${\displaystyle S_{1}\times _{X}S_{2}}$ quasikompakt ist.[7]

Literatur

• Dustin Clausen, Peter Scholze: Lectures on Condensed Mathematics, Uni Bonn, Mai 2019
• Dustin Clausen, Peter Scholze: Lectures on Analytic Geometry, Uni Bonn
• Clark Barwick, Peter Haine: Pyknotic objects, I
• nLab: Condensed set

Einzelnachweise

1. Davide Castelvecchi: Der Umbau der Mathematik mit Computerunterstützung, in: Spektrum Magazin, Oktober 2021, S. 21–22, online vom 15. September 2021
2. Pyknotic objects, I: Def. 2.1.3
3. Lectures on Condensed Mathematics: Def. 1.2
4. Lectures on Condensed Mathematics: Rem. 1.3
5. Lectures on Condensed Mathematics: Prop. 2.9
6. Lectures on Condensed Mathematics: Def. 2.11
7. Lectures on Analytic Geometry: §1