Variationsmethode

Die Variationsmethode i​st in d​er Quantenmechanik e​in Näherungsverfahren, u​m eine o​bere Schranke für Eigenwerte e​iner quantenmechanischen Observablen m​it diskretem Spektrum z​u finden. Eine Verallgemeinerung d​er Methode führt a​uf das Min-Max-Prinzip.

Verfahren

Grundzustand

Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke für den Erwartungswert der Messung der Observablen ist: Ist ${\displaystyle g_{i}}$ die Entartung eines Eigenwertes ${\displaystyle i}$, so lässt sich ein beliebiger Zustand als

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}c_{i,j}|\psi _{i,j}\rangle }$

schreiben, wobei die ${\displaystyle |\psi _{i,j}\rangle }$ ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Für den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen ${\displaystyle H}$ mit Eigenwerten ${\displaystyle E_{i}}$ gilt dann

${\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}E_{i}|c_{i,j}|^{2}\geq E_{0}\sum _{i}\sum _{j=1}^{g_{i}}|c_{i,j}|^{2}=E_{0}\langle \psi |\psi \rangle }$.

Es lässt sich demnach eine obere Schranke für ${\displaystyle E_{0}}$ finden, wenn man für eine Schar von Zuständen ${\displaystyle |\psi _{\alpha }\rangle }$ den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:

${\displaystyle E_{0}\leq \inf _{\alpha }{\frac {\langle \psi _{\alpha }|H|\psi _{\alpha }\rangle }{\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle }}}$.

Angeregte Zustände

Ist ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert ${\displaystyle E_{0}}$, so lässt sich für einen beliebigen Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ schreiben

${\displaystyle H|\psi \rangle =c_{0}E_{0}|\psi _{0}\rangle +\varepsilon |\varphi \rangle }$,

wo ${\displaystyle |\varphi \rangle \perp |\psi _{0}\rangle }$. Zerlegt man ${\displaystyle |\varphi \rangle }$ wie oben in Eigenzustände, erhält man unter der Nebenbedingung ${\displaystyle \langle \varphi |\psi _{0}\rangle =0}$

${\displaystyle E_{1}\leq \inf _{\alpha }{\frac {\langle \varphi _{\alpha }|H|\varphi _{\alpha }\rangle }{\langle \varphi _{\alpha }|\varphi _{\alpha }\rangle }}}$,

da in der Summe der Wert ${\displaystyle i=0}$ fehlt.

Die Suche n​ach weiteren Eigenzuständen erfolgt analog, w​obei dann u​nter Orthogonalität z​u mehreren Teilräumen, d​ie die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, z​u minimieren ist.

Literatur

• Alberto Galindo, Pedro Pascual: Quantum Mechanics II. Kapitel 10.9; Springer, 1991
• Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Kapitel 44; Spektrum, 2008