Unipotentes Element

In d​er Algebra i​st der Begriff unipotentes Element e​ine Verallgemeinerung d​er aus d​er linearen Algebra bekannten unipotenten Matrizen, z​um Beispiel d​en oberen Dreiecksmatrizen m​it Einsen a​uf der Hauptdiagonale.

Definition

Es sei ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Einselement ${\displaystyle 1}$. Ein Element ${\displaystyle r\in R}$ heißt unipotent, wenn ${\displaystyle r-1}$ nilpotent ist, das heißt, wenn

${\displaystyle (r-1)^{n}=0}$

für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ist.

Unipotente Matrizen

→ Hauptartikel: Unipotente Matrix

Für einen Ring ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ bilden die quadratischen Matrizen ${\displaystyle Mat(m,R)}$ ebenfalls einen Ring. In diesem Matrizenring ist die Einheitsmatrix ${\displaystyle I_{m}}$ das Einselement. Die unipotenten Elemente in diesem Ring heißen unipotente Matrizen. Beispielsweise sind alle oberen Dreiecksmatrizen ${\displaystyle A}$, die auf der Diagonale nur Einsen aufweisen, unipotent, denn sie erfüllen

${\displaystyle (A-I_{m})^{m}=0}$.

Unipotente Operatoren

Ein auf einem Vektorraum oder Modul wirkender Operator ${\displaystyle T}$ heißt unipotent, wenn

${\displaystyle (T-Id)^{n}=0}$

für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gilt. Er heißt lokal unipotent, wenn seine Einschränkung auf jeden ${\displaystyle T}$-invarianten endlichdimensionalen Unterraum unipotent ist.

Jeder Automorphismus ${\displaystyle S}$ eines endlichdimensionalen Vektorraums ${\displaystyle V}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper besitzt eine eindeutige multiplikative Jordan-Chevalley-Zerlegung der Form

${\displaystyle S=S_{d}\circ S_{u}=S_{u}\circ S_{d}}$,

wobei ${\displaystyle S_{d}}$ ein halbeinfacher (diagonalisierbarer) und ${\displaystyle S_{u}}$ ein unipotenter Automorphismus sind. Ist ${\displaystyle W}$ ein ${\displaystyle S}$-stabiler Untervektorraum von ${\displaystyle V}$, dann ist ${\displaystyle W}$ auch ${\displaystyle S_{d}}$- und ${\displaystyle S_{u}}$-stabil mit der Zerlegung

${\displaystyle S|_{W}=S_{d}|_{W}\circ S_{u}|_{W}=S_{u}|_{W}\circ S_{d}|_{W}}$.

Unipotente algebraische Gruppen

Ein Element ${\displaystyle g}$ einer algebraischen Gruppe ${\displaystyle G}$ heißt unipotent, wenn der durch Rechts-Multiplikation mit ${\displaystyle g}$ auf dem Koordinatenring ${\displaystyle A\left[G\right]}$ definierte Operator lokal unipotent ist.

Eine algebraische Gruppe ${\displaystyle G}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ heißt unipotent, wenn alle ihre Elemente ${\displaystyle g\in G}$ unipotent sind. Insbesondere gilt dann für jede Darstellung ${\displaystyle \rho \colon G\to GL(n,R)}$, dass ${\displaystyle \rho (g)}$ eine unipotente Matrix ist.

Eine algebraische Gruppe i​st genau d​ann unipotent, w​enn sie z​u einer abgeschlossenen Untergruppe e​iner Gruppe oberer Dreiecksmatrizen m​it Einsen a​uf den Diagonalen isomorph ist.

Unipotente algebraische Gruppen ${\displaystyle G}$ werden durch folgende Eigenschaft charakterisiert: für jede lineare Wirkung von ${\displaystyle G}$ auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum ${\displaystyle V}$ gibt es einen Vektor ${\displaystyle v\in V\setminus \left\{0\right\}}$ mit

${\displaystyle gv=v\ \forall g\in G}$.

Literatur

• Armand Borel: Linear algebraic groups. Springer, 1991.
• Jean-Pierre Serre: Groupes algébrique et corps des classes. Hermann, 1959.
• James E. Humphreys: Linear algebraic groups. Springer, 1981.
• Tatsuji Kambayashi, Masayoshi Miyanishi, Mitsuhiro Takeuchi: Unipotent algebraic groups. Springer, 1974.
• Ina Kersten: Lineare Algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, ISBN 978-3-940344-05-2.
• Robert Steinberg: Conjugacy classes in algebraic groups. Lecture Notes in Mathematics, 366, Springer, 1974.

Weblinks

• V. L. Popov: Unipotent Element. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• V. L. Popov: Unipotent Group. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).