Ungleichung von Schur

Die Ungleichung v​on Schur (englisch Schur’s inequality) i​st eine v​on mehreren klassischen Ungleichungen, d​ie der Mathematiker Issai Schur a​uf dem mathematischen Gebiet d​er Analysis beigesteuert hat.[1][2][3]

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lautet folgendermaßen:[1][2][3]

Gegeben seien reelle Zahlen ${\displaystyle r,x,y,z}$ und dabei gelte ${\displaystyle x,y,z>0}$.

Dann besteht die Ungleichung

${\displaystyle x^{r}(x-y)(x-z)+y^{r}(y-z)(y-x)+z^{r}(z-x)(z-y)\geq 0}$

und es gilt hierbei das Gleichheitszeichen genau dann, wenn die drei Zahlen ${\displaystyle x,y,z}$ alle übereinstimmen.

Anwendung

In Anwendung der obigen schurschen Ungleichung (mit ${\displaystyle r=2}$) lässt sich eine der zahlreichen geometrischen Ungleichungen in der Dreiecksgeometrie der euklidischen Ebene herleiten:[4]

Ist in der euklidischen Ebene ein beliebiges Dreieck ${\displaystyle ABC}$ gegeben, dessen Seiten die Längen ${\displaystyle a,b,c}$ haben sollen, und ist hier ${\displaystyle s}$ gleich dem halben Umfang von ${\displaystyle ABC}$, so gilt stets die Ungleichung

${\displaystyle abcs\geq a^{3}\cdot (s-a)+b^{3}\cdot (s-b)+c^{3}\cdot (s-c)}$

Literatur

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities (= The Dolciani Mathematical Expositions. Band 36). The Mathematical Association of America, Washington, DC 2009, ISBN 978-0-88385-342-9 (MR2498836).
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. Reprint (of the 2. edition 1952). Cambridge University Press, Cambridge 1973.
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).

Einzelnachweise

1. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 119 ff
2. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya: Inequalities. 1964, S. 64
3. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More : Visualizing Basic Inequalities. 2009, S. 37–38
4. Alsina / Nelsen, op. cit., S. 38