Ungleichung von Mulholland

Die Ungleichung v​on Mulholland (englisch Mulholland’s inequality) i​st ein Resultat d​er Analysis, e​inem der Teilgebiete d​er Mathematik. Die Ungleichung i​st verwandt m​it der minkowskischen Ungleichung, welche s​ich im Wesentlichen a​us der mulhollandschen Ungleichung a​ls Korollar ergibt. Sie w​urde von Hugh P. Mulholland i​m Jahre 1950 publiziert u​nd gab Anlass z​u einer Reihe weiterführender Untersuchungen.[1][2]

Formulierung

Das Resultat lässt s​ich wie f​olgt angeben:[3][4]

Gegeben seien das reelle Intervall ${\displaystyle I=[0,\infty )}$ und eine reelle Funktion ${\displaystyle f\colon I\to I}$ mit folgenden Eigenschaften:

(1) ${\displaystyle f(0)=0}$  .

(2) ${\displaystyle f}$ ist eine stetige Bijektion und dabei eine streng monoton steigende Funktion.

(3) Die Einschränkung ${\displaystyle f|_{(0,\infty )}}$ auf das Innere des Intervalls ist eine Jensen-konvexe Funktion.

(4) Die durch die Zuordnung ${\displaystyle t\mapsto F(t)=\ln \left(f\left(e^{t}\right)\right)}$ gegebene reelle Funktion ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ist ebenfalls Jensen-konvex.

Dann gilt für jede natürliche Zahl ${\displaystyle N>0}$ und je zwei ${\displaystyle N}$-Tupel ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{N}),(b_{1},\ldots ,b_{N})\in I^{N}}$ stets die Ungleichung

${\displaystyle f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(a_{i}+b_{i})}\right)\leq f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(a_{i})}\right)+f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{N}{f(b_{i})}\right)}$  .

Korollar

Nimmt man oben (zu einer gegebenen reellen Zahl ${\displaystyle p\geq 1}$) als Funktion ${\displaystyle f}$ die Potenzfunktion ${\displaystyle t\mapsto f(t)=t^{p}\;(t\geq 0)}$, so erhält man eine Version der minkowskischen Ungleichung:[3][5]

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle N>0}$ und je zwei ${\displaystyle N}$-Tupel ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{N})}$ und ${\displaystyle (b_{1},\ldots ,b_{N})}$ nichtnegativer reeller Zahlen gilt stets

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{(a_{i}+b_{i})^{p}}}}\leq {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{{a_{i}}^{p}}}}+{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{N}{{b_{i}}^{p}}}}}$  .

Literatur

• Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. Cauchy's Equation and Jensen's Inequality. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2009, ISBN 978-3-7643-8748-8 (MR2467621).
• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686).
• H. P. Mulholland: On generalizations of Minkowski's inequality in the form of a triangle inequality. In: Proceedings of the London Mathematical Society (2). Band 51, 1950, S. 294–307 (MR0033865).
• Zhen Xiao Huang, Bicheng Yang: On a half-discrete Hilbert-type inequality similar to Mulholland's inequality. In: Journal of Inequalities and Applications. 2013, S. 2013:290 (MR3073994).

Einzelnachweise

1. Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities. 2009, S. 218–222
2. D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 55 ff
3. Kuczma, op. cit., S. 221
4. Mitrinović, op. cit., S. 56–57
5. Dabei folgt man der Konvention ${\displaystyle 0^{p}={\sqrt[{p}]{0}}=0}$.