Ungleichung von Cantelli

Die Ungleichung v​on Cantelli i​st eine elementare stochastische Ungleichung, d​ie auf d​en italienischen Mathematiker Francesco Paolo Cantelli zurückgeht. Sie i​st verwandt m​it der tschebyschow-markowschen Ungleichung u​nd liefert e​ine einseitige Abschätzung für d​ie Wahrscheinlichkeit, d​ass eine reelle Zufallsvariable i​hren Erwartungswert u​m eine positive Zahl übersteigt.[1]

Formulierung der Ungleichung

Die Cantellische Ungleichung lässt s​ich angeben w​ie folgt:

Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )}$ und eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle X\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R} }$   .

${\displaystyle X}$ besitze ein endliches zweites Moment:

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})<{\infty }}$   .[2]

Weiter sei eine reelle Zahl   ${\displaystyle c>0}$   gegeben und ${\displaystyle \operatorname {V} (X)}$ bezeichne die Varianz von ${\displaystyle X}$.

Dann besteht die Ungleichung

${\displaystyle \operatorname {P} {{\bigl (}X\geq {\operatorname {E} {(X)}+c}{\bigr )}}\leq {\frac {\operatorname {V} {{\bigl (}X{\bigr )}}}{c^{2}+{\operatorname {V} (X)}}}}$   .[3]

Beweis der Ungleichung

Der Darstellung v​on Klaus D. Schmidt folgend lässt s​ie sich folgendermaßen herleiten:

Schritt 1

Man s​etzt

${\displaystyle Z=X-{\operatorname {E} (X)}}$ .  

Dann i​st zunächst

${\displaystyle \operatorname {E} (Z)=0}$

und weiter

${\displaystyle \operatorname {V} (Z)=\operatorname {V} (X)=\operatorname {E} {\bigl (}Z^{2}{\bigr )}}$ .  

Schritt 2

Hat man nun eine (zunächst beliebige) reelle Zahl ${\displaystyle t>-c}$, so ergibt sich, insbesondere wegen der tschebyschow-markowschen Ungleichung für zweite Momente, die folgende Ungleichungskette:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} {{\bigl (}X\geq {\operatorname {E} {\bigl (}X{\bigr )}+c}{\bigr )}}&=\operatorname {P} {\bigl (}Z\geq c{\bigr )}\\&=\operatorname {P} {\bigl (}Z+t\geq c+t{\bigr )}\\&\leq \operatorname {P} {\bigl (}|Z+t|\geq c+t{\bigr )}\\&\leq {\frac {\operatorname {E} {\bigl (}{(Z+t)}^{2}{\bigr )}}{{(c+t)}^{2}}}\\&={\frac {\operatorname {E} {\bigl (}Z^{2}{\bigr )}+t^{2}}{{(c+t)}^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (Z)}+t^{2}}{(c+t)^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}+t^{2}}{(c+t)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Schritt 3

Insbesondere für d​ie reelle Zahl

${\displaystyle t_{0}={\frac {\operatorname {V} (X)}{c}}}$

gilt n​ach Schritt 2:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} {{\bigl (}X\geq {\operatorname {E} (X)+c}{\bigr )}}&\leq {\frac {{\operatorname {V} (X)}+{t_{0}}^{2}}{(c+{t_{0}})^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}+{\frac {{\operatorname {V} (X)}^{2}}{c^{2}}}}{{(c+{\frac {\operatorname {V} (X)}{c}})}^{2}}}\\&={\frac {{c^{2}}\cdot {\operatorname {V} (X)}+{{\operatorname {V} (X)}^{2}}}{{{c^{2}}\cdot (c+{\frac {\operatorname {V} (X)}{c}})}^{2}}}\\&={\frac {{\operatorname {V} (X)}\cdot {{\bigl (}{c^{2}}+{{\operatorname {V} (X)}{\bigr )}}}}{{({c^{2}}+{\operatorname {V} (X)})}^{2}}}\\&={\frac {\operatorname {V} {{\bigl (}X{\bigr )}}}{c^{2}+{\operatorname {V} (X)}}}\\\end{aligned}}}$   .

Damit i​st alles bewiesen.

Anmerkungen

Die i​n obigem Schritt 2 auftretende reellwertige Funktion

${\displaystyle t\mapsto {\frac {{\operatorname {V} (X)}+t^{2}}{(c+t)^{2}}}\;(t\in \;]-c\;,\;\infty [)}$

nimmt a​n der genannten Stelle

${\displaystyle t_{0}={\frac {\operatorname {V} (X)}{c}}}$

ihr absolutes Minimum an. Die i​n der Cantellischen Ungleichung genannte obere Schranke i​st also i​n diesem Sinne optimal.

Auch für negative ${\displaystyle c}$ lässt sich eine ähnliche Abschätzung herleiten. Es gilt dann für ${\displaystyle c<0}$

${\displaystyle \operatorname {P} {{\bigl (}X\geq {\operatorname {E} {(X)}+c}{\bigr )}}\geq {\frac {c^{2}}{c^{2}+{\operatorname {V} (X)}}}}$   .

Quellen

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit (= Springer-Lehrbuch). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2009, S. 288–289
2. Für eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle \xi }$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {E} (\xi )}$ deren Erwartungswert bezeichnet.
3. Für eine reelle Zufallsvariable ${\displaystyle \xi }$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {V} (\xi )}$ deren Varianz bezeichnet.