Trigamma-Funktion

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion[1]; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion ${\displaystyle \psi }$. Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit ${\displaystyle \psi _{1}}$ bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion ${\displaystyle \ln }$${\displaystyle (\Gamma (x))}$ definiert, wobei ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion bezeichnet.

Die Trigammafunktion ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ in der komplexen Zahlenebene.

Definition und weitere Darstellungen

Die Definition lautet:

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}\ln \Gamma (z).}$

Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion ${\displaystyle \psi (z)}$, dass

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\psi (z)}$

die Trigammafunktion d​ie Ableitung d​er Digammafunktion ist.

Aus d​er Summendarstellung

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}}=\zeta (2,z)}$

folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen ${\displaystyle \zeta }$-Funktion[2] ist.

Eine Darstellung a​ls Doppelintegral ist

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}\int \limits _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}\,\mathrm {d} x}{1-x}}.}$

Außerdem gilt

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,\mathrm {d} x.}$

Berechnung und Eigenschaften

Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen ${\displaystyle B_{2k}}$ ein:

${\displaystyle \psi _{1}(z)\sim {\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}}$.

Zwar ist die Reihe für kein ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle N\to \infty }$ konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte ${\displaystyle N}$ eine sehr gute Näherung dar. Je größer ${\displaystyle |z|}$ ist, desto größer kann ${\displaystyle N}$ gewählt werden.

Die Rekursionsformel d​er Trigammafunktion lautet:

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}}$

Die Funktionalgleichung d​er Trigammafunktion h​at die Form e​iner Reflexionsgleichung u​nd ist gegeben durch:

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)=\pi ^{2}\csc ^{2}(\pi z).\,}$

Hier ist ${\displaystyle \csc }$ der Kosekans.

Spezielle Werte

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei ${\displaystyle G}$ die Catalansche Konstante, ${\displaystyle \zeta (x)}$ die Riemannsche Zetafunktion und ${\displaystyle {\rm {{Cl}_{2}}}}$ die Clausen-Funktion[3] bezeichnet.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {2}{3}}\right)&={}&{\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\cdot {\rm {{Cl}_{2}({\tfrac {2}{3}}\pi )}}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}-8G\\&\psi _{1}\,(1)&={}&\zeta (2)={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\\&\psi _{1}\left({\tfrac {5}{4}}\right)&={}&\pi ^{2}+8G-16\\&\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={}&{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\\&\psi _{1}\,(2)&={}&{\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\end{aligned}}}$

Referenzen

1. Eric W. Weisstein: Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).
2. Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
3. Eric W. Weisstein: Clausen Function. In: MathWorld (englisch).

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. Abschnitt §6.4
• Eric W. Weisstein: Trigamma Function. In: MathWorld (englisch).