Potenz-beschränktes Element

Ein potenz-beschränktes Element i​st ein Element e​ines topologischen Ringes, dessen Potenzen beschränkt sind. Diese Elemente finden Anwendung i​n der Theorie adischer Räume.

Definition

Sei ${\displaystyle A}$ ein topologischer Ring. Eine Teilmenge ${\displaystyle T\subset A}$ heißt beschränkt, falls für jede Umgebung ${\displaystyle U}$ der Null eine offene Umgebung ${\displaystyle V}$ der Null existiert, sodass ${\displaystyle T\cdot V:=\{t\cdot v\mid t\in T,v\in V\}\subset U}$ gilt. Ein Element ${\displaystyle a\in A}$ heißt potenz-beschränkt, falls die Menge ${\displaystyle \{a^{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ beschränkt ist.[1]

Beispiele

• Ein Element ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ist genau dann potenz-beschränkt, wenn ${\displaystyle |x|\leq 1}$ gilt.
• Ist allgemeiner ${\displaystyle A}$ ein topologischer kommutativer Ring, dessen Topologie von einem Betrag induziert wird, dann ist ein Element ${\displaystyle x\in A}$ genau dann potenz-beschränkt, wenn ${\displaystyle |x|\leq 1}$ gilt. Ist der Betrag nicht-archimedisch, so bilden die potenz-beschränkten Elemente einen Teilring, der mit ${\displaystyle A^{\circ }}$ bezeichnet wird. Das folgt aus der ultrametrischen Ungleichung.
• Der Ring der potenz-beschränkten Elemente in ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\circ }=\mathbb {Z} _{p}}$.
• Jedes topologisch nilpotente Element ist potenz-beschränkt.[2]

Literatur

• Wedhorn: Adic spaces

Einzelnachweise

1. Wedhorn: Def. 5.27
2. Wedhorn: Rem. 5.28 (4)