Tobit-Modell

Das Tobit-Modell i​st ein a​uf James Tobin zurückgehendes ökonometrisches Modell z​ur Analyse beschränkt abhängiger Variablen (zensierte Daten). Da d​ie abhängige Variable n​ur auf e​inem bestimmten Wertebereich existiert, s​ind normale Regressionsparameter n​icht die bestmöglichen Schätzer, sodass d​ie Schätzfunktion korrigiert werden muss. Diese Korrektur i​st im Tobit-Modell implementiert.

Modell

Mit dem Tobit-Modell wird der Zusammenhang zwischen einer nicht-negativen abhängigen Variable ${\displaystyle y_{i}}$ und einer unabhängigen Variablen (oder einem Vektor) ${\displaystyle x_{i}}$ beschrieben. Das Modell geht davon aus, dass es eine latente (d. h. nicht beobachtbare) Variable ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ gibt. Diese Variable ist linear abhängig von ${\displaystyle x_{i}}$ über einen Parameter (oder Vektor) ${\displaystyle \beta }$, der wie bei einer linearen Regression den Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variable (oder dem Vektor) ${\displaystyle x_{i}}$ und der latenten Variablen ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ bestimmt.

Darüber hinaus gibt es einen normalverteilten Fehlerterm ${\displaystyle u_{i}}$, der die Zufallseinflüsse auf diesen Zusammenhang modelliert.

Die beobachtbare Variable ${\displaystyle y_{i}}$ ist per Definition gleich der latenten Variablen, wenn diese größer als null ist; ansonsten ist sie null:

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;y_{i}^{*}>0,\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \;y_{i}^{*}\leq 0,\end{cases}}}$

wobei ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ eine latente Variable darstellt:

${\displaystyle y_{i}^{*}=\beta x_{i}+u_{i},\quad u_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$

Parameterschätzung

Falls der wahre Parameter ${\displaystyle \beta }$ über eine herkömmliche Regression der beobachteten Variable ${\displaystyle y_{i}}$ auf ${\displaystyle x_{i}}$ geschätzt wird, ist der resultierende Kleinste-Quadrate-Schätzer nicht konsistent für ${\displaystyle \beta }$. Amemiya (1973) hat bewiesen, dass der Wahrscheinlichkeitsschätzer, der von Tobin für dieses Modell vorgeschlagen wurde, konsistent ist.

Verallgemeinerung

Das Tobit-Modell ist ein Spezialfall eines trunkierten Regressionsmodells, weil die latente Variable ${\displaystyle y_{i}^{*}}$ nicht immer beobachtet werden kann, während die unabhängige Variable ${\displaystyle x_{i}}$ beobachtbar ist. Eine verbreitete Variante des Tobit-Modells besteht darin, eine Variable auf einen von Null verschiedenen Wert ${\displaystyle y_{L}}$ zu beschränken:

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad y_{i}^{*}>y_{L}\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad y_{i}^{*}\leq y_{L}.\end{cases}}}$

Ein anderes Beispiel betrifft die Beschränkung auf Werte über ${\displaystyle y_{U}}$.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad y_{i}^{*}<y_{U}\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

Ein weiteres Modell resultiert, wenn ${\displaystyle y_{i}}$ gleichzeitig von oben und von unten beschränkt wird.

${\displaystyle y_{i}={\begin{cases}y_{i}^{*}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad y_{L}<y_{i}^{*}<y_{U}\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad y_{i}^{*}\leq y_{L}\quad {\text{oder}}\quad y_{i}^{*}\geq y_{U}.\end{cases}}}$

Solche Verallgemeinerungen werden typischerweise ebenfalls als Tobit-Modelle bezeichnet. Je nach dem, wo und wann die Beschränkung erfolgt, resultieren weitere Varianten des Tobit-Modells. Takeshi Amemiya klassifiziert diese Varianten in fünf Kategorien (Tobit-Regression Typ 1–Tobit-Regression Typ 4), wobei die Tobit-Regression Typ 1 für das oben beschriebene Modell steht.[1] Schnedler liefert eine allgemeine Formel, um konsistente Wahrscheinlichkeitsschätzer für diese und andere Varianten des Tobit-Modells zu erzielen.[2]

Literatur

• Amemiya, Takeshi (1973). „Regression analysis when the dependent variable is truncated normal“. Econometrica 41 (6), 997–1016.

• Tobin, James (1958). „Estimation of relationships for limited dependent variables“. Econometrica 26 (1), 24–36.

Einzelnachweise

1. Takeshi Amemiya: Advanced Econometrics. Harvard University Press, Cambridge 1985, ISBN 0-674-00560-0, S. 360 ff.
2. Schnedler, Wendelin (2005). „Likelihood estimation for censored random vectors“. Econometric Reviews 24 (2), 195–217.