Symmetrisches Lanczos-Verfahren

In d​er numerischen Mathematik i​st das symmetrische Lanczos-Verfahren e​in Verfahren z​ur Lösung v​on Eigenwertproblemen für symmetrische o​der hermitesche Matrizen. Es stellt sowohl e​inen Spezialfall d​es unsymmetrischen Lanczos-Verfahrens, a​ls auch d​es Arnoldi-Verfahrens dar.

Der Algorithmus

Es sei eine hermitesche Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und ein beliebiger Startvektor ${\displaystyle r_{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$ ungleich Null gegeben. Dann erstellt der folgende Algorithmus eine Orthonormalbasis ${\displaystyle q_{1},..,q_{k}}$ des Krylow-Unterraums ${\displaystyle {\mathcal {K}}={\mathcal {K}}(A,r_{0})}$. Diese kann dann zur Berechnung von Eigenwerten oder der Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt werden.

1. Setze ${\displaystyle q_{0}=0}$
2. for ${\displaystyle k=1,..,n}$ do
3. ${\displaystyle \beta _{k-1}=\|r_{k-1}\|}$
4. ${\displaystyle q_{k}=r_{k-1}/\beta _{k-1}}$
5. ${\displaystyle r_{k}=Aq_{k}}$
6. ${\displaystyle \alpha _{k}=\langle q_{k},r_{k}\rangle }$
7. ${\displaystyle r_{k}=r_{k}-\alpha _{k}q_{k}-\beta _{k-1}q_{k-1}}$
8. end for

Literatur

• Andreas Meister, Christof Vömel: Numerik linearer Gleichungssysteme. Eine Einführung in moderne Verfahren. 2. Aufl. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-13135-7.