Supereffizienter Schätzer

Bei supereffizienten Schätzern handelt e​s sich u​m besondere Punktschätzer a​us der Schätztheorie, e​inem Teilgebiet d​er mathematischen Statistik. Die Besonderheit l​iegt darin, d​ass sie d​ie Cramér-Rao-Schranke überall unterschreiten. Ein supereffizienter Schätzer besitzt d​aher einen e​cht geringeren mittleren quadratischen Schätzfehler a​ls alle regulären u​nd erwartungstreuen Schätzer, d​ie bei d​er Cramér-Rao-Ungleichung betrachtet werden. Der bekannteste Vertreter supereffizienter Schätzer i​st der James-Stein-Schätzer.

Mathematische Definition

Gegeben sei ein d-parametriges statistisches Modell ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })}$ mit dominierendem Maß ${\displaystyle \mu }$. Die Fisher-Informationsmatrix ${\displaystyle I(\vartheta )}$ existiert und ist invertierbar. Diese Rahmenannahmen sind notwendig, da supereffiziente Schätzer nur Sinn ergeben, wenn die rechte Seite der Cramér-Rao-Ungleichung existiert.

Ein Schätzer ${\displaystyle T:{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} ^{d}}$ für den Parameter ${\displaystyle \vartheta \in \Theta \subset \mathbb {R} ^{d}}$ heißt supereffizient, falls für alle ${\displaystyle \vartheta }$ gilt:

${\displaystyle \mathrm {E} _{\vartheta }\left[\|T-\vartheta \|^{2}\right]<\operatorname {Spur} (I(\vartheta )^{-1})}$

Dabei handelt es sich bei ${\displaystyle \operatorname {Spur} }$ um die Spurbildung einer Matrix.

Existenz

Mittels d​er Van-Trees-Ungleichung lässt s​ich beweisen, d​ass supereffizente Schätzer für ein- o​der zweiparametrige Modelle n​icht existieren. Die Existenz für höherparametrige Modelle z​eigt der eingangs erwähnte James-Stein-Schätzer.