Starke Suffizienz

Die starke Suffizienz i​st in d​er mathematischen Statistik e​ine Abwandlung d​er Suffizienz u​nd damit wichtig für d​ie Beantwortung d​er Frage, o​b Informationen verlustfrei komprimiert werden können. Wie b​ei der (gewöhnlichen) Suffizienz definiert m​an zuerst d​ie stark suffiziente σ-Algebra, u​m darauf aufbauend d​ie stark suffiziente Statistik z​u definieren. Starke Suffizienz u​nd Suffizienz hängen zusammen, s​ind aber i​m Allgemeinen n​icht identisch. Die starke Suffizienz g​eht zurück a​uf eine Arbeit v​on David Blackwell a​us dem Jahr 1951, s​iehe Abschnitt Literatur.

Definition

Gegeben sei ein statistisches Modell ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},{\mathcal {P}})}$ und eine σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset {\mathcal {A}}}$. Dann heißt ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ eine stark suffiziente σ-Algebra für ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, wenn ein Markow-Kern ${\displaystyle \kappa }$ von ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}$ nach ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ existiert, so dass

${\displaystyle \kappa (\omega ,A)=P(A|{\mathcal {S}})(\omega )=\operatorname {E} _{P}(\mathbf {1} _{A}|{\mathcal {S}})(\omega )}$

für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ und alle ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$.

Eine Statistik ${\displaystyle T}$ heißt eine stark suffiziente Statistik, wenn die von der Statistik erzeugte σ-Algebra ${\displaystyle \sigma (T)}$ eine stark suffiziente σ-Algebra ist.

Beziehung zur Suffizienz

Auf borelschen Räumen fallen starke Suffizienz und Suffizienz zusammen. Denn ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ stark suffizient, so ist ${\displaystyle \kappa (\cdot ,A)=f_{A}}$ genau die von der Wahl von ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ unabhängige ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$-messbare Funktion, die bei der Definition der Suffizienz verlangt wird. Ist umgekehrt ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ suffizient auf einem Borelraum, so existiert der bei der Definition der starken Suffizienz geforderte Markow-Kern immer; er ist genau der Kern, der die reguläre bedingte Verteilung definiert, die auf borelschen Räumen immer existiert.

Verwendung

Die starke Suffizienz wird beispielsweise in der Entscheidungstheorie verwendet. Hier werden Entscheidungen mittels Markow-Kernen modelliert, den sogenannten randomisierten Entscheidungsfunktionen. Um den Schaden einer Entscheidungsfunktion zu bemessen, wird eine Risikofunktion definiert, die bei vorliegendem, aber unbekannten Parameter, und einer gegebenen Entscheidungsfunktion das Risiko für eine Entscheidung bemisst. Ist nun ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ eine stark suffiziente σ-Algebra, so lässt sich die Entscheidungsfunktion anstelle auf der großen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ auf ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ definieren, ohne dass sich die Risikofunktion ändert. Somit enthält die stark suffiziente σ-Algebra bereits alle für die Risikofunktion nötigen Informationen.

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, doi:10.1007/978-3-642-41997-3.
• David Blackwell: Comparison of Experiments, Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, University of California Press, Berkeley 1951, 93–102.