Spektrum (Topologie)

Im mathematischen Teilgebiet d​er algebraischen Topologie werden Spektren z​ur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt.

Definition

Ein Spektrum ist eine Folge punktierter Räume ${\displaystyle E_{n}}$ mit punktierten stetigen Abbildungen

${\displaystyle \sigma _{n}\colon SE_{n}\to E_{n+1}}$.

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle SE_{n}}$ die reduzierte Einhängung von ${\displaystyle E_{n}}$.

Weil die reduzierte Einhängung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist, entspricht ${\displaystyle \sigma _{n}}$ einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung ${\displaystyle E_{n}\to \Omega E_{n+1}}$. Ein Spektrum ist ein ${\displaystyle \Omega }$-Spektrum, wenn die Abbildungen ${\displaystyle E_{n}\to \Omega E_{n+1}}$ Homöomorphismen sind.

Man findet in der Literatur auch andere Definitionen. Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Präspektrum und die ${\displaystyle \Omega }$-Spektren dann als Spektrum bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Präspektrum ${\displaystyle E_{n}}$ durch ${\displaystyle \operatorname {colim} _{k\to \infty }\Omega ^{k}E_{n+k}}$ ein Spektrum zuordnen, seine Spektrifizierung.

Ein Morphismus zwischen Spektren ${\displaystyle (E_{n},\sigma _{n})}$ und ${\displaystyle (E_{n}^{\prime },\sigma _{n}^{\prime })}$ ist eine Familie stetiger Abbildungen ${\displaystyle f_{n}\colon E_{n}\to E_{n}^{\prime }}$ mit ${\displaystyle f_{n+1}\circ \sigma _{n}=\sigma _{n}^{\prime }\circ Sf_{n}}$ für alle ${\displaystyle n}$.

Beispiele

• Einhängungsspektren: Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ bildet ${\displaystyle E_{n}:=S^{n}X}$ mit den kanonischen Homöomorphismen ${\displaystyle \sigma _{n}\colon SE_{n}\to E_{n+1}}$ ein Spektrum. Es wird als Einhängungsspektrum ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$ des Raumes ${\displaystyle X}$ bezeichnet. Allgemeiner werden Spektren der Form ${\displaystyle \Sigma ^{k}\Sigma ^{\infty }X}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ als Einhängungsspektren bezeichnet, wobei für ein Spektrum ${\displaystyle E=(E_{n},\sigma _{n})}$ mit ${\displaystyle \Sigma ^{k}E}$ das Spektrum ${\displaystyle (E_{n+k},\sigma _{n+k})}$ gemeint ist.
• Sphärenspektrum: Das Einhängungsspektrum der ${\displaystyle 0}$-dimensionalen Sphäre heißt Sphärenspektrum und wird mit ${\displaystyle \mathbf {S} }$ bezeichnet. In diesem Fall ist also ${\displaystyle E_{n}=S^{n}}$ und ${\displaystyle \sigma _{n}\colon SS^{n}\to S^{n+1}}$ der kanonische Homöomorphismus.
• Eilenberg-MacLane-Spektrum: Für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ bilden die Eilenberg-MacLane-Räume ein Spektrum mit ${\displaystyle E_{n}=K(G,n)}$ und ${\displaystyle \sigma _{n}\colon SK(G,n)\to K(G,n+1)}$ der durch den Satz von Whitehead gegebenen Homotopieäquivalenz. Dieses Spektrum wird auch mit ${\displaystyle HG}$ bezeichnet.
• Thom-Spektrum: Die Thom-Räume ${\displaystyle Th(\tau _{n})}$ der universellen Vektorbündel ${\displaystyle \tau _{n}\to BO(n)}$ über den Graßmann-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle BO(n)}$ bilden ein Spektrum ${\displaystyle MO(n)}$. Die Strukturabbildung ist in diesem Fall die von der klassifizierenden Abbildung ${\displaystyle BO(n)\to BO(n+1)}$ des Vektorbündels ${\displaystyle (\tau _{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }})\to BO(n)}$ induzierte Abbildung ${\displaystyle \sigma _{n}:SMO(n)=STh(\tau _{n})=Th(\tau _{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }})\to Th(\tau _{n+1})=MO(n+1).}$
• Topologisches K-Theorie-Spektrum: Dieses Spektrum ist definiert durch ${\displaystyle E_{2n}=U,E_{2n+1}=\mathbb {Z} \times BU}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, wobei ${\displaystyle U}$ die aufsteigende Vereinigung der unitären Gruppen und ${\displaystyle BU}$ ihr klassifizierender Raum ist.
• ${\displaystyle \Omega }$-Spektren: Sei ${\displaystyle X}$ ein unendlicher Schleifenraum, dann definiert ${\displaystyle E_{n}=\Omega ^{-n}X}$ ein ${\displaystyle \Omega }$-Spektrum.
• Algebraisches K-Theorie-Spektrum: Für einen kommutativen Ring ${\displaystyle R}$ mit Eins ist ${\displaystyle X=BGL^{+}(R)}$, die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum von ${\displaystyle GL(R)}$, ein unendlicher Schleifenraum und definiert deshalb ein ${\displaystyle \Omega }$-Spektrum.

Homotopiegruppen von Spektren

Die k-te Homotopiegruppe e​ines Spektrums i​st definiert durch

${\displaystyle \pi _{k}(E):=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\pi _{n+k}E_{n}}$.

Die Homotopiegruppen eines Einhängungsspektrums ${\displaystyle E_{n}=S^{n}X}$ werden als stabile Homotopiegruppen von ${\displaystyle X}$ bezeichnet:

${\displaystyle \pi _{k}^{s}(X):=\pi _{k}(\Sigma ^{\infty }X)}$.

Für ${\displaystyle \Omega }$-Spektren gilt bereits ${\displaystyle \pi _{k}(E)=\pi _{k}(E_{0})}$.

Beispiele

• Die stabilen Homotopiegruppen der Sphären sind die Homotopiegruppen des Sphärenspektrums ${\displaystyle \mathbf {S} }$.
• Die algebraische K-Theorie ${\displaystyle K_{i}(R)}$ eines kommutativen Ringes ${\displaystyle R}$ mit Eins erhält man für ${\displaystyle i\geq 1}$ per Definition als Homotopiegruppen des algebraischen K-Theorie-Spektrums.
• Die Kobordismusgruppe unorientierter ${\displaystyle n}$-Mannigfaltigkeiten ist isomorph zur ${\displaystyle n}$-ten Homotopiegruppe des Thom-Spektrums.

Äquivalenzen

Für Morphismen v​on Spektren g​ilt das folgende Analogon z​um Satz v​on Whitehead:

Ein Morphismus v​on Spektren induziert g​enau dann e​inen Isomorphismus a​ller Homotopiegruppen, w​enn der induzierte Morphismus i​n der Homotopie-Kategorie d​er Spektren e​in Isomorphismus ist. Solche Abbildungen heißen Äquivalenzen.

Verallgemeinerte Homologietheorien

Ein Spektrum definiert e​ine (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie durch

${\displaystyle {\tilde {E}}_{k}(X):=\left[\Sigma ^{k}\mathbf {S} ,E\wedge X\right]}$,

wobei ${\displaystyle E\wedge X}$ das mit Hilfe des Smash-Produktes durch ${\displaystyle (E\wedge X)_{n}:=E_{n}\wedge X}$ definierte Spektrum bezeichnet.

Insbesondere ist ${\displaystyle {\tilde {E}}_{k}(S^{0})=\pi _{k}(E)}$.

Beispiel

${\displaystyle MO_{k}(X)}$ ist isomorph zur Kobordismusgruppe singulärer ${\displaystyle k}$-Mannigfaltigkeiten in ${\displaystyle X}$.

Verallgemeinerte Kohomologietheorien

Jedes Spektrum ${\displaystyle E}$ definiert eine verallgemeinerte (reduzierte) Kohomologietheorie durch

${\displaystyle {\widetilde {E}}^{k}(X):=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\left[S^{n}X,E_{n+k}\right]}$

für topologische Räume ${\displaystyle X}$, wobei ${\displaystyle \left[.,.\right]}$ die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet. (Man sagt, die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt.)

Die zugehörige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit ${\displaystyle E^{*}(X)}$ bezeichnet.

Beispiele

Das Eilenberg-MacLane-Spektrum ${\displaystyle K(G,n)}$ definiert die singuläre Kohomologie ${\displaystyle H^{*}(X;G)}$, das topologische K-Theorie-Spektrum definiert topologische K-Theorie.

Berechnung

Verallgemeinerte Kohomologiegruppen ${\displaystyle E^{*}}$ eines Raumes ${\displaystyle X}$ können oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden. Diese ist eine gegen ${\displaystyle E^{*}(X)}$ konvergierende Spektralsequenz mit ${\displaystyle E_{2}}$-Term

${\displaystyle E_{2}^{pq}=H^{p}(X;E^{q}(X))}$,

wobei ${\displaystyle H^{*}(.;E^{q}(X))}$ singuläre Kohomologie mit Koeffizienten-Gruppe ${\displaystyle E^{q}(X)}$ bezeichnet.

Brownscher Darstellbarkeitssatz

Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt, dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein ${\displaystyle \Omega }$-Spektrum darstellen lässt.

Smash-Produkt

Für ein Spektrum ${\displaystyle E=(E_{n},\sigma _{n})}$ und einen Raum ${\displaystyle X}$ definiert man das Spektrum ${\displaystyle E\wedge X}$ durch ${\displaystyle (E\wedge X)_{n}:=E_{n}\wedge X}$ und die Strukturabbildungen ${\displaystyle \Sigma _{n}\wedge id_{X}}$.

Es gibt eine auf Adams zurückgehende Konstruktion, die zwei Spektren ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ ein Smash-Produkt ${\displaystyle E\wedge F}$ zuordnet, welches die folgenden Eigenschaften hat:

• Das Smash-Produkt ist ein kovarianter Funktor beider Argumente.
• Es gibt natürliche Äquivalenzen ${\displaystyle \alpha \colon (E\wedge F)\wedge G\to E\wedge (F\wedge G),\tau \colon E\wedge F\to F\wedge E,l\colon \mathbf {S} \wedge E\to E,r\colon E\wedge \mathbf {S} \to E,\Sigma \colon \Sigma E\wedge F\to \Sigma (E\wedge F)}$.
• Für jedes Spektrum ${\displaystyle E}$ und jeden CW-Komplex ${\displaystyle X}$ gibt es eine natürliche Äquivalenz ${\displaystyle e\colon E\wedge X\to E\wedge \Sigma ^{\infty }X}$. Insbesondere ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }(X\wedge Y)\simeq \Sigma ^{\infty }X\wedge \Sigma ^{\infty }Y}$ für alle CW-Komplexe ${\displaystyle X,Y}$.
• Wenn ${\displaystyle f\colon E\to F}$ eine Äquivalenz ist, dann auch ${\displaystyle f\wedge id_{G}\colon E\wedge G\to F\wedge G}$.
• Für eine Familie ${\displaystyle \left\{E_{\Lambda }\right\}}$ von Spektra ist ${\displaystyle \left\{i_{\Lambda }\wedge id_{F}\right\}\colon \vee _{\Lambda }(E_{\Lambda }\wedge F)\to (\vee _{\Lambda }(E_{\Lambda }))\wedge F}$ eine Äquivalenz.
• Wenn ${\displaystyle A\to B\to C}$ eine Kofaserung von Spektra ist, dann auch ${\displaystyle A\wedge E\to B\wedge E\to C\wedge E}$.

Ringspektren

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum ${\displaystyle R}$ mit einem Smash-Produkt ${\displaystyle \wedge }$ und mit Morphismen

${\displaystyle \mu \colon R\wedge R\to R,\epsilon \colon \mathbf {S} \to R,}$

${\displaystyle \alpha \colon R\wedge (R\wedge R)\to (R\wedge R)\wedge R,\lambda \colon \mathbf {S} \wedge R\to R,\rho \colon R\wedge \mathbf {S} \to R}$,

die d​en Bedingungen

${\displaystyle \mu \circ (\mu \wedge id)\circ \alpha =\mu \circ (id\wedge \mu )\colon R\wedge (R\wedge R)\to R}$

${\displaystyle \mu \circ (\epsilon \wedge id)=\lambda \colon \mathbf {S} \wedge R\to R,\mu \circ (id\wedge \epsilon )=\rho \colon R\wedge \mathbf {S} \to R}$

genügen.

Literatur

• Spanier, E. H.; Whitehead, J. H. C.: A first approximation to homotopy theory. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 39, (1953). 655–660. pdf
• Lima, Elon L.: Stable Postnikov invariants and their duals. Summa Brasil. Math. 4 1960 193–251.
• Adams, J. F.: Stable homotopy and generalised homology. Reprint of the 1974 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1995. ISBN 0-226-00524-0

Weblinks

• Greenlees: Spectra for commutative algebraists
• Rognes: The sphere spectrum
• Malkiewich: The stable homotopy category
• Schwede: Symmetric spectra