Kofaserung

In d​er Mathematik s​ind Kofaserungen e​in wichtiger Begriff d​er algebraischen Topologie.

Definition

Eine stetige Abbildung ist eine Kofaserung, wenn sie die Homotopieerweiterungseigenschaft erfüllt, d. h. wenn es zu stetigen Abbildungen

mit

(für die durch definierte Inklusive ) immer eine stetige Abbildung

mit

und

(für die natürliche Projektion ) gibt.

Falls die Inklusion eines Unterraumes ist, dann ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass es eine Retraktion

gibt.

Beispiele

  • Die Inklusion
ist eine Kofaserung.
  • Für jeden CW-Komplex und alle ist die Inklusion
des m-Skeletts in das n-Skelett eine Kofaserung. Insbesondere sind CW-Komplexe kofibrant.

Kofaser

Die Homotopie-Kofaser einer (beliebigen) stetigen Abbildung ist ihr Abbildungskegel . Für jede verallgemeinerte Homologietheorie hat man eine lange exakte Sequenz

Falls die Abbildung eine Kofaserung ist, bezeichnet man die Homotopie-Kofaser als Kofaser.

Wenn eine Inklusion eine Kofaserung ist, dann ist die Kofaser Homotopie-äquivalent zum Quotientenraum und es gilt

.

Literatur

  • Whitehead, George W.: Elements of homotopy theory. Graduate Texts in Mathematics, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. ISBN 0-387-90336-4
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