Singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese

Die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese, n​ach der englischen Bezeichnung singular cardinals hypothesis a​uch als SCH abgekürzt, i​st eine v​on den üblichen Axiomen d​er Mengenlehre unabhängige Aussage, d​ie daher w​eder bewiesen n​och widerlegt werden kann. Sie taucht i​m Rahmen d​er Untersuchungen über d​ie Kontinuumshypothese auf.

Formulierung

Die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese ist folgende Aussage[1]: Gilt für eine unendliche Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$ die Ungleichung ${\displaystyle 2^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa }$, so ist ${\displaystyle \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}}$.

Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {cf} \kappa }$ die Kofinalität von ${\displaystyle \kappa }$ und ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ die Nachfolger-Kardinalzahl von ${\displaystyle \kappa }$. Nach dem Satz von Cantor ist stets ${\displaystyle 2^{\kappa }>\kappa }$. Aus ${\displaystyle 2^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa }$ folgt daher ${\displaystyle \operatorname {cf} \kappa <\kappa }$, das heißt, die Kardinalzahl ${\displaystyle \kappa }$, die ${\displaystyle 2^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa }$ erfüllt, muss singulär sein. Daher wird in obiger Formulierung nur eine Aussage über singuläre Kardinalzahlen getroffen, was den Namen singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese erklärt. Nach dem Satz von König ist stets ${\displaystyle \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }>\kappa }$, so dass ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ der minimal mögliche Wert für ${\displaystyle \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }}$ ist. Obige Aussage bedeutet also, dass ${\displaystyle \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }}$ für Kardinalzahlen mit ${\displaystyle \kappa }$ mit ${\displaystyle 2^{\operatorname {cf} \kappa }<\kappa }$ den geringst möglichen Wert annimmt.

Aus GCH folgt SCH

Da ${\displaystyle \operatorname {cf} \kappa \leq \kappa }$ und wegen des oben erwähnten Satzes von König gilt ${\displaystyle \kappa <\kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }\leq \kappa ^{\kappa }=2^{\kappa }}$. Wenn die verallgemeinerte Kontinuumshypothese GCH (englisch: Generalized Continuum Hypothesis) gilt, so ist stets ${\displaystyle 2^{\kappa }=\kappa ^{+}}$ und aus obiger Ungleichung folgt ${\displaystyle \kappa ^{\operatorname {cf} \kappa }=\kappa ^{+}}$, das heißt die Konklusion in der SCH gilt unabhängig von irgendwelchen Voraussetzungen. Insbesondere folgt die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese.

Es gibt aber auch Modelle mit ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$ und SCH, in denen also die Kontinuumshypothese verletzt ist, aber trotzdem die singuläre-Kardinalzahlen-Hypothese gilt.[2]

Siehe auch

• In der Kardinalzahlarithmetik führt die Annahme der SCH zu vereinfachten Formeln für die Potenzierung von Kardinalzahlen.
• Nach einem Satz von Silver genügt es, in der singulären-Kardinalzahlen-Hypothese den Fall ${\displaystyle \operatorname {cf} \kappa =\aleph _{0}}$ zu betrachten.

Einzelnachweise

1. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, I.5, Seite 58
2. Matteo Viale: The proper forcing axiom and the singular cardinal hypothesis, J. Symbolic Logic, Band 71(2): Seiten 473–479 (2006)