Satz von König (Mengenlehre)

Der Satz v​on König i​st ein Satz a​us der Mengenlehre, d​er von d​em ungarischen Mathematiker Julius König 1905 entdeckt wurde. Der Satz i​st eine strikte Ungleichung zwischen z​wei Kardinalzahlen.

Aussage

Für eine Familie ${\displaystyle \langle \kappa _{i}\mid i\in I\rangle }$ von Kardinalzahlen ist die Summe dieser Kardinalzahlen die Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung von Mengen der Mächtigkeit ${\displaystyle \kappa _{i}}$,

${\displaystyle \sum _{i\in I}\kappa _{i}=\vert \bigcup _{i\in I}M_{i}\vert ,}$

und d​as Produkt d​ie Mächtigkeit d​es kartesischen Produkts,

${\displaystyle \prod _{i\in I}\kappa _{i}=|\prod _{i\in I}M_{i}|=\vert \{f\colon I\to \textstyle \bigcup _{i\in I}M_{i}\mid \forall i\in I\ f(i)\in M_{i}\}\vert .}$

Hierbei sind die ${\displaystyle M_{i}}$ paarweise disjunkte Mengen mit ${\displaystyle \vert M_{i}\vert =\kappa _{i}}$, zum Beispiel ${\displaystyle M_{i}=\kappa _{i}\times \{i\}}$. Die Wohldefiniertheit beider Operationen folgt aus dem Auswahlaxiom.

Der Satz v​on König besagt nun:

Für zwei Kardinalzahlfolgen ${\displaystyle \langle \kappa _{i}\mid i\in I\rangle }$ und ${\displaystyle \langle \lambda _{i}\mid i\in I\rangle }$ mit ${\displaystyle \kappa _{i}<\lambda _{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ gilt:

${\displaystyle \sum _{i\in I}\kappa _{i}<\prod _{i\in I}\lambda _{i}}$.

Beweis

Seien ${\displaystyle \langle X_{i}\mid i\in I\rangle }$, ${\displaystyle \langle Y_{i}\mid i\in I\rangle }$ zwei Familien von paarweise disjunkten Mengen mit ${\displaystyle \vert X_{i}\vert =\kappa _{i}<\lambda _{i}=\vert Y_{i}\vert }$. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man annehmen, dass ${\displaystyle X_{i}\subsetneq Y_{i}}$. Es ist zu zeigen: Es gibt eine injektive, aber keine bijektive Abbildung

${\displaystyle \Phi \colon \bigcup _{i\in I}X_{i}\to \prod _{i\in I}Y_{i}=\{f\colon I\to \textstyle \bigcup _{i\in I}Y_{i}\mid \forall i\in I\ f(i)\in Y_{i}\}}$

Für jedes ${\displaystyle i\in I}$ sei ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ein Element aus ${\displaystyle Y_{i}\setminus X_{i}}$. Sei ${\displaystyle \textstyle x\in \bigcup _{i\in I}X_{i}}$. Dann gibt es ein eindeutiges ${\displaystyle j\in I}$ mit ${\displaystyle x\in X_{j}}$. Sei ${\displaystyle \textstyle f:=\Phi (x)\in \prod _{i\in I}Y_{i}}$ die Funktion mit

${\displaystyle f(i)={\begin{cases}x,&i=j\\\alpha _{i},&i\neq j\end{cases}}}$.

Dann ist ${\displaystyle \Phi }$ injektiv.

Sei nun eine beliebige solche Abbildung ${\displaystyle \Phi }$ gegeben. Für ${\displaystyle i\in I}$ definiere ${\displaystyle f(i)}$ als ein Element aus ${\displaystyle Y_{i}\setminus \{\Phi (x)(i)\vert x\in X_{i}\}}$. Dann ist ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle i}$ verschieden von allen Bildern von ${\displaystyle \Phi }$ aus ${\displaystyle X_{i}}$. Da dies für alle ${\displaystyle i\in I}$ gilt, ist ${\displaystyle \Phi }$ nicht surjektiv und damit nicht bijektiv.

Folgerungen

Aus dem Satz von König lassen sich weitere Ungleichungen unmittelbar herleiten (${\displaystyle \kappa }$ und ${\displaystyle \lambda }$ seien Kardinalzahlen):

• Bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )}$ die Konfinalität von ${\displaystyle \kappa }$, so gilt für ${\displaystyle \kappa }$ unendlich ${\displaystyle \kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )}>\kappa }$.
• für ${\displaystyle \kappa >1}$ und ${\displaystyle \lambda }$ unendlich ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa ^{\lambda })>\lambda }$.

Literatur

• Jech, Thomas: Set Theory, Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2006), ISBN 3-540-44085-2.
• König, Julius: Zum Kontinuumsproblem, Mathematische Annalen 60 (1905), 177–180.