Simpliziale Kohomologie

Die simpliziale Kohomologie i​st in d​er algebraischen Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, e​ine Methode, d​ie einem beliebigen Simplizialkomplex e​ine Folge abelscher Gruppen zuordnet. Anschaulich gesprochen zählt s​ie die Löcher unterschiedlicher Dimension d​es zugrunde liegenden Raumes.

Simpliziale Kohomologie

Ein simplizialer Komplex ${\displaystyle K}$ ist eine Menge von (durch ihre Eckpunkte eindeutig bestimmten) Simplizes, so dass jede Seitenfläche eines der Simplizes wieder in dieser Menge liegt.

Zu einem Simplizialkomplex ${\displaystyle K}$ betrachten wir für ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ die freie abelsche Gruppe über der Menge der ${\displaystyle n}$-Simplizes des simplizialen Komplexes ${\displaystyle C_{n}(K)}$.

Elemente von ${\displaystyle C_{n}(K)}$ sind also formale Summen der Form

${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i}}$

mit ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ein ${\displaystyle n}$-Simplex von ${\displaystyle K}$. Dabei wird gefordert, dass ${\displaystyle \sigma _{i}=-\sigma _{j}}$ gilt, wenn die Simplizes ${\displaystyle \sigma _{i}}$ und ${\displaystyle \sigma _{j}}$ umgekehrte Orientierung besitzen.

Die zugehörige Kokettengruppe ${\displaystyle C^{n}(K)}$ wird definiert als ${\displaystyle C^{n}(K)=Hom(C_{n}(K),\mathbb {Z} )}$. Offensichtlich ist eine Abbildung ${\displaystyle f\in Hom(C_{n}(K),\mathbb {Z} )}$ bereits eindeutig festgelegt durch ihre Werte auf ${\displaystyle n}$-Simplizes.

Die Randabbildung ${\displaystyle \partial \colon C_{n}(K)\rightarrow C_{n-1}(K)}$ bildet jeden Simplex auf die alternierende Summe seiner Seitenflächen ab, das heißt

${\displaystyle \partial ([v_{0},\dots ,v_{n}]):=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}[v_{0},\ldots ,{\hat {v_{i}}},\ldots ,v_{n}]\,,}$

wobei ${\displaystyle {\hat {v}}_{i}}$ bedeutet, dass ${\displaystyle v_{i}}$ ausgelassen wird. Sie induziert eine "Korandabbildung" ${\displaystyle \delta \colon C^{n-1}(K)\rightarrow C^{n}(K)}$ durch

${\displaystyle (\delta f)(\sum _{j=1}^{r}a_{j}\sigma _{j}):=\sum _{j=1}^{r}a_{j}f(\partial \sigma _{j}).}$

Man rechnet leicht nach, d​ass

${\displaystyle \delta \circ \delta =0}$

gilt. ${\displaystyle (C^{*}(K),\delta )}$ ist also ein Kokettenkomplex.

Die Kohomologie dieses Kokettenkomplexes heißt die simpliziale Kohomologie von ${\displaystyle K}$ und wird mit ${\displaystyle H^{*}(K)}$ bezeichnet.

Funktorialität

Simpliziale Abbildungen

Eine simpliziale Abbildung ${\displaystyle f\colon K\to L}$ induziert eine Kokettenabbildung

${\displaystyle f^{*}:C^{*}(L)\rightarrow C^{*}(K)}$

durch

${\displaystyle (f^{*}c)(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i})=\sum _{i=1}^{r}a_{i}f(\sigma _{i})}$

für ${\displaystyle c\in C^{*}(L)}$ und ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i}\in C_{*}(K)}$, und wegen ${\displaystyle \delta f=f\delta }$ eine wohldefinierte Abbildung

${\displaystyle f^{*}:H^{*}(L)\rightarrow H^{*}(K)}$.

Stetige Abbildungen

Sei

${\displaystyle f:\vert K\vert \to \vert L\vert }$

eine stetige Abbildung zwischen den geometrischen Realisierungen zweier Simplizialkomplexe ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle L}$. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle Bd(K)}$ die baryzentrische Unterteilung von ${\displaystyle K}$ und mit ${\displaystyle Bd^{n}(K)}$ die ${\displaystyle n}$-fach iterierte baryzentrische Unterteilung. Es gilt ${\displaystyle \vert Bd^{n}(K)\vert =\vert K\vert }$.

Nach dem simplizialen Approximationssatz gibt es ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, so dass ${\displaystyle f:\vert Bd^{n}(K)\vert \to \vert L\vert }$ eine simpliziale Approximation

${\displaystyle g:Bd^{n}(K)\rightarrow L}$

besitzt.

Dann w​ird

${\displaystyle f^{*}:H^{*}(L)\rightarrow H^{*}(K)}$

definiert als die Verknüpfung von ${\displaystyle g^{*}}$ mit dem kanonischen Isomorphismus ${\displaystyle H^{*}(K)\simeq H^{*}(Bd^{n}(K))}$. Man kann zeigen, dass der so definierte Homomorphismus ${\displaystyle f^{*}}$ unabhängig von der Wahl der simplizialen Approximation ist.

Simpliziale Kohomologie mit Koeffizienten

Für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle G}$ und einen Simplizialkomplex ${\displaystyle K}$ definiert man

${\displaystyle C^{*}(K,G)=Hom(C_{*}(K,\mathbb {Z} ),G)}$.

Der Korandoperator ${\displaystyle \delta \colon C^{n}(K,G)\to C^{n-1}(K,G)}$ wird wieder definiert als

${\displaystyle \delta f(\sum _{i=1}^{r}a_{i}\sigma _{i})=\sum _{j=1}^{r}(-1)^{j}(\sum _{i=1}^{r}a_{i}f(\partial _{i}\sigma _{j}))}$.

Die Kohomologie m​it Koeffizienten i​n G

${\displaystyle H_{*}(X,G)}$

ist definiert als die Kohomologie des Kokettenkomplexes ${\displaystyle (C^{*}(X,G),\delta )}$.

Simpliziale versus Singuläre Kohomologie

Die simpliziale Kohomologie e​ines Simplizialkomplexes i​st isomorph z​ur singulären Kohomologie seiner geometrischen Realisierung:

${\displaystyle H^{*}(K,G)=H^{*}(\vert K\vert ,G)}$.

Literatur

• Stöcker, Ralph; Zieschang, Heiner: Algebraische Topologie. Eine Einführung. 2. Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X.