Shephards Lemma

Shephards Lemma (auch Lemma v​on Shephard) besagt i​n der Haushaltstheorie, d​ass die Hicks’sche Nachfragefunktion n​ach einem Gut d​er Ableitung d​er Ausgabenfunktion n​ach dem Preis dieses Gutes entspricht. In d​er Theorie d​es Unternehmens besagt es, d​ass die bedingte Faktornachfrage n​ach einem Produktionsfaktor d​er Ableitung d​er Kostenfunktion n​ach dem Faktorpreis dieses Produktionsfaktors entspricht. Die beiden Anwendungen s​ind analog.

Benannt i​st das Lemma n​ach dem amerikanischen Ökonomen u​nd Statistiker Ronald Shephard.

Darstellung

Theorie des Haushalts

Man g​eht zunächst v​on einem Ausgabenminimierungsproblem aus, d​as durch

${\displaystyle \min _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})={\overline {u}}}$

gegeben ist, wobei ${\displaystyle u(\cdot )}$ stetig, differenzierbar und strikt quasikonkav sei. Dabei werden die Gesamtausgaben für die ${\displaystyle n}$ Güter aus dem Warenkorb minimiert, wobei aber ein gewisses Nutzenniveau gewahrt werden soll. Die Lösung eines solchen Ausgabenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$, die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Gütern nachgefragt werden sollte, um das gegebene Nutzenniveau möglichst kostengünstig zu erzielen. Es ist folglich ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ eine Funktion des Preisvektors ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})}$ und des festgelegten Nutzenniveaus ${\displaystyle {\overline {u}}}$. Man bezeichnet das so gegebene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ als Hick'sche Nachfrage und vereinbart ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})\equiv \mathbf {x} ^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$.

Die diesem ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ zugehörige so genannte Optimalwertfunktion ist gegeben durch die ursprünglich minimierte Funktion, in die man nun das erhaltene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ einsetzt. Man bezeichnet sie als Ausgabenfunktion ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle e=e(\mathbf {p} ,{\overline {u}})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$

Sie liefert d​ie tatsächlichen Ausgaben, d​ie im Ausgabenminimum für gegebenes Nutzenniveau z​u tätigen sind.

Shephards Lemma in der Haushaltstheorie[1]: Die Hick’sche Nachfrage nach einem Gut j ist gegeben durch die partielle Ableitung der Ausgabenfunktion nach dem Preis ${\displaystyle p_{j}}$ des Gutes:

${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}{\partial p_{j}}}=x_{j}^{h}(\mathbf {p} ,{\overline {u}})}$

Theorie des Unternehmens

Man g​eht zunächst v​on einem Kostenminimierungsproblem aus, d​as durch

${\displaystyle \min _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}}$ unter der Nebenbedingung ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=y}$

gegeben ist, wobei ${\displaystyle f(\cdot )}$ stetig, differenzierbar und strikt quasikonkav sei. Dabei werden die Gesamtausgaben für die ${\displaystyle n}$ Produktionsfaktoren minimiert, wobei aber eine gewisse Outputmenge ${\displaystyle y}$ hervorgebracht werden soll (${\displaystyle f}$ ist die Produktionsfunktion). Die Lösung eines solchen Kostenminimierungsproblems ist bestimmungsgemäß eine Funktion ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$, die anzeigt, welche Menge von den jeweiligen Faktoren nachgefragt werden sollte, um das gegebene Produktionsziel möglichst kostengünstig zu erreichen. Es ist folglich ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ eine Funktion des Faktorpreisvektors ${\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},\ldots ,w_{n})}$ und des festgelegten Outputniveaus ${\displaystyle y}$. Man bezeichnet das so gegebene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ als bedingte Faktornachfrage.

Die diesem ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ zugehörige so genannte Optimalwertfunktion ist gegeben durch die ursprünglich minimierte Funktion, in die man nun das erhaltene ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ einsetzt. Man bezeichnet sie als Kostenfunktion ${\displaystyle c}$:

${\displaystyle c=c(\mathbf {w} ,y)=\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{*}(\mathbf {w} ,y)}$

Sie liefert d​ie tatsächlichen Kosten, d​ie im Kostenminimum für e​ine gegebene Outputmenge anfallen.

Shephards Lemma in der Theorie der Unternehmung[2]: Die bedingte Faktornachfrage nach einem Produktionsfaktor j ist gegeben durch die partielle Ableitung der Kostenfunktion nach dem Preis ${\displaystyle w_{j}}$ des Produktionsfaktors:

${\displaystyle {\frac {\partial c(\mathbf {w} ,y)}{\partial w_{j}}}=x_{j}^{*}(\mathbf {w} ,y)}$

Herleitung

Das Lemma i​st eine direkte Anwendung d​es Envelope-Theorems.

Siehe auch

• Hotellings Lemma
• Slutsky-Zerlegung
• Envelope-Theorem

Literatur

• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
• Ronald W. Shephard: Cost and production functions. Springer, Berlin 1981, ISBN 3-540-11158-1 (Nachdr. d. Ausg. Princeton 1953).

Einzelnachweise

1. Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 35–39.
2. Vgl. Jehle/Reny 2011, S. 136–138.