Schwarz-Christoffel-Transformation

Die Schwarz-Christoffel-Transformation (Abk. SCT) i​st eine mathematische Abbildungsvorschrift, welche e​s erlaubt, e​in standardisiertes mathematisches Gebiet winkelgenau a​uf ein beliebiges Vieleck abzubilden. Im Spezialfall lassen s​ich so a​uch Kreise (kontinuierlicher, bekannter Knickwinkel) abbilden.

Damit können mechanische u​nd elektrische Berechnungen a​n kompliziert begrenzten Körpern u​nd Flächen einfacher durchgeführt werden, w​eil die Verhältnisse i​n den Ursprungskörpern bekannt u​nd leicht darstellbar sind. Die Transformation g​eht zurück a​uf die beiden deutschen Mathematiker Hermann Amandus Schwarz u​nd Elwin Bruno Christoffel.

Formel

Eine Abbildung der reellen Zahlenachse auf einen beliebigen Linienzug, mit Innen-/Knickwinkeln ${\displaystyle \pi \alpha _{1},\pi \alpha _{2},...,\pi \alpha _{n}}$ und Urbildern der Eckpunkte ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ ist gegeben durch:

${\displaystyle f(z)=C\int _{0}^{z}(\zeta -a_{1})^{\alpha _{1}-1}(\zeta -a_{2})^{\alpha _{2}-1}...(\zeta -a_{n})^{\alpha _{n}-1}d\zeta +C^{'}}$

oder alternativ d​urch die DGL:

${\displaystyle {\frac {f''(z)}{f'(z)}}=\left\{{\begin{array}{ll}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\alpha _{k}-1}{z-a_{k}}}&{\text{ falls alle }}a_{k}\neq \infty \\\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {\alpha _{k}-1}{z-a_{k}}}&{\text{ falls }}a_{n}=\infty \end{array}}\right..}$

Wenn der Linienzug geschlossen ist, also im Falle eine n-gons ${\displaystyle \Pi }$ wird die obere Halbebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$ auf das innere des n-gons abgebildet. Für den Fall ${\displaystyle n=3}$, also den eines Dreiecks, lassen sich wegen der konformen Selbstabbildungen der oberen Halbebene (der Möbiustransformationen) die durch drei Einträge vollständig festgelegt sind, die Urbilder beliebig wählen.

Grafische Interpretation

Beispiel einer Ebenentransformation mittels der SCT

Die beiden gewählten Knickpunkte a​uf der X-Achse werden a​uf die Eckpunkte d​es Ausgangsraumes abgebildet. Damit w​ird die o​bere Halbebene m​it bekanntem Potenzialverlauf i​n die z​u analysierende geknickte Struktur überführt. Die Wahl d​er Punkte i​st dabei n​icht grundsätzlich erheblich, s​ie beeinflusst lediglich d​ie Darstellung d​er Transformation. Durch Bildung d​er Umkehrtransformation u​nd Lösung können d​ie komplizierten Verläufe d​es elektrischen Potenzials direkt dargestellt werden.

Weblinks

• Schwarz-Christoffel transformation auf PlanetMath
• John H. Mathews und Russell W. Howell: Module for The Schwarz-Christoffel Transformation (Memento vom 15. Juli 2013 im Internet Archive)